高中数学必修五：不等关系与不等式

不等关系与不等式学习目标：1．了解不等式(组)的实际背景．2．学会比较两数大小的方法.新知初探1．实数的大小顺序实数与数轴上的点是的，在数轴上，某一点对应的实数总比它的的点对应的实数大．一一对应左边2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是，那么ab；如果a－b是，那么a＝b；如果a－b是，那么ab，反之也成立．(2)符号表示a－b0⇔ab；a－b＝0⇔ab；a－b0⇔ab.正数零负数＝思考感悟：1．不等关系与不等式有何区别？答：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“”，“”，“≠”，“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“ab”，“ab”，“a≠b”，“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．2．你能用数学符号表示下表中的不等关系吗？文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于等于不少于小于等于不多于答：文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤典例探究类型一用不等式(组)表示不等关系例1：两种药片的有效成分如下表所示.成分药片阿司匹林(mg)小苏打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)176若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打，28mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．解：设提供A药片x片、B药片y片．由题意，得2x＋y≥12，5x＋7y≥70，x＋6y≥28，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.变式训练1：一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式将题中的不等关系表示出来．解：列不等式组，涉及到“至少”、“至多”问题，要用到“≥”或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，据题意可得y2≤z≤x3y＋z≥55(x，y，z∈N＋)．类型二利用作差法比较大小例2：已知abc0，试比较a－cb与b－ca的大小．解：a－cb－b－ca＝aa－c－bb－cab＝a2－ac－b2＋bcab＝a2－b2－a－bcab＝a－ba＋b－cab.因为abc0，所以a－b0，ab0，a＋b－c0.所以a－ba＋b－cab0，即a－cbb－ca.变式训练2：已知a0，试比较a与1a的大小．解：∵a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a，∵a0，∴当a1时，a－1a＋1a0，有a1a；当a＝1时，a－1a＋1a＝0，有a＝1a；当0a1时，a－1a＋1a0，有a1a.综上可知，当a1时，a1a；当a＝1时，a＝1a；当0a1时，a1a.类型三利用作商法比较大小例3：设a0，b0，且a≠b，比较aabb与abba的大小．解：aabbabba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b，当ab0时，ab1，且a－b0，∴(ab)a－b1.即aabbabba；当ba0时，0ab1，且a－b0，∴(ab)a－b1.即aabbabba.综上知：aabbabba.变式训练3：若a0，比较aa与3a的大小．解：aa3a＝(a3)a当0a3时，0a31，则(a3)a1，aa3a；当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a；当a3时，a31，(a3)a1，aa3a.类型四创新应用问题例4：规定A⊕B＝A2＋B2，A⊖B＝A·B，A，B∈R，若M＝a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断M⊕N与M⊖N的大小．解：M⊕N＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2，M⊖N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2，M⊕N－M⊖N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0，∴M⊕N≥M⊖N.变式训练4：若规定abcd＝ad－bc，则a－bba________a－abb(a，b∈R，a≠b)．(用“”，“＝”，“”填空)【解析】由题意得：a－bba＝a2＋b2，a－abb＝2ab，∴a2＋b2－2ab＝(a－b)20(a≠b)，∴a－bbaa－abb.【答案】课堂小结：1．比较实数大小的依据实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系．那些表示实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列．数轴上的一个动点向着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大，由此可以得到下面两个结论：(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；(2)对于任意两个实数a和b，在a＝b，ab，ab三种关系中，有且仅有一种关系成立．2．作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差，作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判断差的符号是正、负还是零．(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关课堂检测【解析】∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1＝x2－x＋14＋34＝(x－12)2＋340.∴MN.【答案】A2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120km/h或d≥10mB．v≤120km/hd≥10mC．v≤120km/hD．d≥10m【答案】B3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．【解析】M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋340∴MN【答案】MN4．若需在长为4000mm圆钢上，截得长为698mm和518mm的两种毛坯分别为x，y个，则x，y应满足的不等关系为________．【解析】由题意可知，x，y应满足以下条件．698x＋518y≤4000，x≥0，y≥0，x，y∈N.【答案】698x＋518y≤4000，x≥0，y≥0，x，y∈N.5．在日常生活中，“糖水加糖更甜”，即加糖溶化后，糖水的浓度变大了．若a克糖水中含b克糖，再加m克糖溶化后，则糖水更甜，你能用一个不等式来表示这个关系吗？解：加糖前糖水浓度为ba，加糖后糖水浓度变为b＋ma＋m，根据题意，有bab＋ma＋m(ab0，m0)．