同济版大一高数第十章第一节二重积分概念

1高等数学第十四讲2第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分3三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质第十章4柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.),(yxfzD１．曲顶柱体的体积问题的提出51xix1ixayo求曲边梯形面积的解题步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi3)近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.niiAA10limniiixf10)(lim6解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”D7D1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”nkkkkf1),(),(kkf),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk84)“取极限”kk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(kkfk),(kk92.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则M若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21n相应把薄片也分为小区域.Dyx102)“常代变”中任取一点k在每个),,(kk3)“近似和”nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量yx11两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:12二、二重积分的定义及可积性定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,13引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,),(yxf也常,ddyx二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作14关于二重积分定义的几点说明:1、二重积分的值与D域的分法及kkk,上的取法无关。2、二重积分是个极限值，是个数值。其大小只与yxf,及D有关而与积分变量的记号无关。3、,id对应和式中的对D的分割是任意的，若用平行于坐标轴的直线段来划分D,那么除了靠边的一些小区域外，绝大部分的小区域都是矩形的，由于,0i靠边的小区域不作计较。150),()2(yxfzVdyxfD),(上变号在Dyxfz),()3(面等于xoydyxfD),(上方的体积－下方的体积。二重积分的几何意义0),()1(yxfzxyz),(yxfzDDdyxfV),(ooxyz(,)0zfxyy16二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有17三、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k为常数)21d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxfDd1为D的面积,则Dyxfkd),(Dd（共8个）18特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.（二重积分的估值定理）D的面积为,MyxfmDd),(则有设DDDdMdyxfdm,197.(二重积分的中值定理)),(),(fdyxfD证:由性质6可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理,至少有一点Dyxffd),(1),(在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此此性质的几何意义是：总可以在D内找到一点使得以D为底为曲顶的曲顶柱体的体积等于以D为底，),(f为高的平顶柱体体积。20xyoD8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx021例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而域D位,1yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在D上1y2xo1D222.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,d31DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因0y1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyox1D23220yx0)ln(22yx例2.判断的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：1yx当时，故0)ln(22yx又当时，1yx于是2)(yx10dd)ln(122yxyxyx1111xyoD24例3.估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解:D的面积为2001022由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即:1.96I210101010D10011021xyo1、252、4:)94(2222yxDdyxID解：先求94,22yxyxf在D上的最值yfxfyx82令00yxff得驻点：00yx在D的边界上422yx22239,yyxyxf2313y402y25,13yxf2525,13,9maxM925,13,9minm25,9yxf25)94(922Ddyx4＝100)94(3622Ddyx为D的面积9)0,0(f26内容小结1.二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质(与定积分性质相似)27例2.判断积分的正负号.解:分积分域为,,,321DDD则原式=yxyxDdd11322yxyxDdd123221ddDyx)34(2323D32D11Dyxo0)21(3猜想结果为负但不好估计.舍去此项