中考专题--几何综合之旋转专题

第四讲旋转专题例题1.点BCE、、在同一直线上，点AD、在直线CE的同侧，直线AEBD、交于点F.（1）如图①，若60BAC，则AFB________；如图②，若90BAC，则AFB________；（2）如图③，若BAC，则AFB________（用含的式子表示）；（3）将图③中的ABC△绕点C旋转（点F不与点AB、重合），得图④或图⑤.在图④中，AFB与的数量关系是________；在图⑤中，AFB与的数量关系是________.请你任选其中一个结论证明.思路点拨从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：ABC△∽EDC△，BCD△∽ACE△，这是解本例的关键.图①DECBFAAFBCDEEDCBFA图③图②AFQBCDEEDCBQFA图④图⑤例2.如图1，ABC△是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BDCF，BDCF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BDCF；②当4AB，2AD时，求线段BG的长．例3.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EGCG、，如图①，易证EGCG且EGCG.（1）将BEF△绕点B逆时针旋转90，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将BEF△绕点B逆时针旋转180，如图③，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.(第8题)图①图②图③CBEFGDAADGFEBCCBEFGDA例4.如图①，在等边ABC△中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP.将ABP△绕点P按顺时针方向旋转角（0180），得到11ABP△，连接1AA，射线1AA分别交射线PB、射线1BB于点EF、.（1）如图①，当060时，在角变化过程中，BEF△与AEP△始终存在________关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图②，设ABP.当60180时，有角变化过程中，是否存在BEF△与AEP△全等？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理.（3）如图③，当60时，点EF、与点B重合.已知4AB，设DPx，11ABB△的面积为S，求S关于x的函数关系式.图①图②A1BADPCB1FA1EBB1ADPCBB1A1ACPDFE(第16题)图③例5.将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，点D与边AB的中点重合，将△DEF绕着点D旋转．（1）如图1，如果∠EDF的边DE经过点C，另一边DF与边AC交于点G，求GC的长；（2）如图2，如果∠EDF的边DF、DE分别交边BC于点M、N，设CN=x、BM=y，求y关于x的函数解析式，并求它的定义域；（3）如图3，如果∠EDF的边DF、DE分别交边AC于点M、N，如果△DMN是等腰三角形，求AN的值．例6.已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转．①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．例7.如图1，点O为正方形ABCD的中心．（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°,点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，∠EGF=90°，AB=2√2，GE=2，△EGF绕G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值．例8.如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．（1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=√2，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．例9.如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=√3AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．例10.已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=√3CD，直接写出∠BAD的度数．例11.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=√6+√22，其他条件不变，求线段AM的长．例12.已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转．（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=12FC；（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求𝐸𝐻𝐶𝐹的值．例13.已知正方形ABCD和等腰RtBEF，EFBE，90BEF，按图甲放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EGCG、．⑴探索EGCG、的数量关系和位置关系，并说明理由；⑵将图甲中BEF绕B点顺时针旋转45得图乙，连接DF，取DF的中点G，问⑴中的结论是否成立？并说明理由；⑶将图甲中BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到90之间）得图丙，连接DF，取DF的中点G，问⑴中的结论是否成立，请说明理由．丙乙甲GFEGFEGFEABCDABCDDCBA例14.如图，△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE′＜180°），连接AD′、BE′，设直线BE′与AC、AD′分别交于点O、E．（1）若△ABC为等边三角形，则𝐴𝐷′𝐵𝐸′的值为1，求∠AFB的度数；（2）若△ABC满足∠ACB=60°，AC=√3，BC=√2，①求𝐴𝐷′𝐵𝐸′的值和∠AFB的度数；②若E为BC的中点，求△OBC面积的最大值．例15.已知，在ABC△中，ABAC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），BMN△的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BMBN，连接CN．（1）当90BACMBN时，①如图a，当45时，ANC的度数为___________；②如图b，当45时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当90BACMBN时，请直接写出ANC与BAC之间的数量关系，不必证明．例16.两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中DEC△绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．（1）不添加辅助线，写出图②中所有与BCF△全等的三角形；（2）将图②中的DEC△绕点C逆时针旋转45°得11DEC△，点F、G、H对应点分别为1F、1G、1H，如图③．探究线段11DF与1AH之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若11DE与CE交于点I，求证：1GICI．例17.如图1，在ABC△中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：BPMCPE△≌△；②求证：PMPN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PMPN还成立吗？不必说明理由．例18.已知ABC△是等腰直角三角形，2ACBC，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将CAD△绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF△，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当90时，G是边AB上一点，且BGAD，连接GF．求证：GFAC；（2）如图2，当90180≤≤时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求CMD的度数；②设D为边AB的中点，当从90变化到180时，求点M运动的路径长．例19.已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．例20.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点Ｐ不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）.（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明.例21.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．例22.在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时