同济版大一高数下第七章第八节常系数齐次线性微分方程

1常系数第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章2二阶常系数齐次线性微分方程:xrey和它的导数只差常数因子,代入①得0)(2xreqprr02qrpr称②为微分方程①的特征方程,1.当042qp时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为1212rxrxYCeCe(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.32.当042qp时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:[xre)(ruup0uq)2(2ururu是特征方程的重根0u取u=x,则得,2xrexy因此原方程的通解为12()rxYCCxe0)()2(2uqrprupru43.当042qp时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为12(cossin)xYeCxCx5小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:1212rxrxYCeCe实根12()rxYCCxe12(cossin)xYeCxCx特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.6若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar推广:7例1.032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例2.求解初值问题0dd2dd22yxyxy,40xy20ddxxy解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为12()xYCCxe利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C8例3：求052yyy的通解解;特征方程为0522rr0412rir212,1（共轭复根）由公式得方程通解12cos2sin2xYeCxCx由上面的讨论可知：求二阶常系数线性齐次方程的通解，并不需要进行积分运算，只要解代数方程求出特征方程的根，就可写出方程的通解。（这种求解的方法可以推广到n阶常系数线性齐次方程上去。)9例4..02)4(yyy解方程解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为则方程通解:10例5..0)4()5(yy解方程解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1YCxC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),,,,132xexxx,0)1(4rr11n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(1110111012例6为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr故所求方程为其通解为13例7：求由12,2xuxeuxx所满足的三阶常系数齐次方程。解：xexu111rxxu22032rr可得特征方程为：0)1(2rr023rr则三阶的齐次方程为0yy14内容小结),(0为常数qpyqypy特征根:21,rr(1)当时,通解为1212rxrxYCeCe21rr(3)当时,通解为12(cossin)xYeCxCxir2,1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.(2)当时,通解为12()rxYCCxe21rrr15思考与练习求方程的通解.答案::0a通解为12YCCx:0a通解为12cossinYCaxCax:0a通解为12axaxYCeCe16P3401(3),(6),(10);2(2),(3),(6);作业