第3章作业题解

一、习题详解：3.1设二维随机向量(,)XY的分布函数为:1222,0,0,(,)0,xyxyxyFxy−−−−⎧−−+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35PXY≤≤.解：因为257(2,5)1222F−−−=−−+，6512221)5,1(−−−+−−=F5322221)3,2(−−−+−−=F，4312221)3,1(−−−+−−=F所以)3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(FFFFYXP+−−=≤≤==+−−=−−−−745672322220.02343.2盒中装有3个黑球,2个白球.现从中任取4个球,用X表示取到的黑球的个数,用Y表示取到的白球的个数,求(X,Y)的概率分布.解：因为X+Y=4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且0)1,2(===YXP，6.053)2,2(452223=====CCCYXP4.052)1,3(451233=====CCCYXP，0)2,3(===YXP故(X,Y)的概率分布为X\Y12200.630.403.3将一枚均匀的硬币抛掷3次,用X表示在3次中出现正面的次数,用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布.解：因为|32||)3(|−=−−=XXXY，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)且81)21()3,0(3====YXP，83)21()21()1,1(2113====CYXP83)21()21()1,2(1223====CYXP，81)21()3,3(3====YXP故(X,Y)的概率分布为X\Y13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,axyxyfxy−−≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他(1)确定常数a;(2)求}{0.5,1.5PXY≤≤(3)求{(,)}PXYD∈,这里D是由0,0,1xyxy==+=这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdyyxadxdyyxf∫∫∫∫−−=+∞∞−+∞∞−1020)6(),(dxxxadxyxa∫∫−−−=−−−=102210202])4()6[(2])6(21[adxxa9)5(210=−=∫由1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdyyxf，得9a=1，故a=1/9.(2)dxdyyxYXP∫∫−−=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0(dxxdxyyx∫∫−−=−−=5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91125)687(5.00=−=∫dxx(3)11001{(,)}(,)(6)9xDPXYDfxydxdydxxydy−∈==−−∫∫∫∫278)1211(181]21)6([9110210102=−−=−−=∫∫−dxxxdxyyxx3.5设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,xyexyfxy−+⎧=⎨⎩其他(1)求分布函数(,)Fxy;(2)求}{PYX≤解：(1)求分布函数(,)Fxy;当0,0xy，(2)220000(,)(,)22(1)(1)yxyxxyuvuvxyFxyfuvdudvedudveduedvee−+−−−−−∞−∞====−−∫∫∫∫∫∫其他情形，由于(,)fxy=0，显然有(,)Fxy=0。综合起来，有2(1)(1),0,0,(,)0,xyeexyFxy−−⎧−−=⎨⎩其他(2)求}{PYX≤(2)200330{}2211033xyyxyyyyPXYdyedxedyedxedye+∞+∞+∞+∞−+−−+∞−−==+∞==−=∫∫∫∫∫3.6向一个无限平面靶射击,设命中点(,)XY的概率密度函数为2221(,),,,(1)fxyxyxyπ=−∞+∞++求命中点与靶心(坐标原点)的距离不超过a的概率.解：drrrddxdyyxaYXPaayx∫∫∫∫+=++=≤+≤+ππθπ20022222222)1()1(1)(222222021111]11[2112aaara+=+−=+−⋅⋅=ππ3.7设二维随机向量(,)XY的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.X\Y02510.150.250.3530.050.180.02解：因为75.035.025.015.0)1(=++==XP25.002.018.005.0)3(=++==XP所以，X的边缘分布为X13P0.750.25因为20.005.015.0)0(=+==YP43.018.025.0)2(=+==YP37.002.035.0)5(=+==YP所以，Y的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为23,02,01,(,)20,xyxyfxy⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求边缘概率密度(),()XYfxfy.解：因为，当20≤≤x时，22123),()(103102xxydyxydyyxfxfX====∫∫∞+∞−；其他情形，显然()0.Xfx=所以，X的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0202/)(xxxfX又因为，当10≤≤y时，2202220234323),()(yyxdxxydxyxfyfY====∫∫∞+∞−其他情形，显然()0.Yfy=所以，Y的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0103)(2yyyfY3.9设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,yxxyxfxy−≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他求边缘概率密度(),()XYfxfy.解，积分区域显然为三角形区域，当01x≤≤时，0yx≤≤，因此2200()(,)4.8(2)2.4(2)2.4(2)xxXfxfxydyyxdyxyxx+∞−∞==−=−=−∫∫；其他情形，显然()0.Xfx=所以，X的边缘分布密度为22.4(2)01()0Xxxxfx⎧−≤≤=⎨⎩其他同理，当01y≤≤时，1,yx≤≤因此1122()(,)4.8(2)2.4(4)2.4(34)Yyyfyfxydxyxdxyxxyyy+∞−∞==−=−=−+∫∫其他情形，显然()0.Yfy=所以，Y的边缘分布密度为22.4(34)01()0Yyyyyfy⎧−+≤≤=⎨⎩其他3.10设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为2,,(,)0,cxyxfxy⎧≤≤=⎨⎩其他(1)确定常数c的值.(2)求边缘概率密度(),()XYfxfy.解：(1)因为dycdxdxdyyxfxx∫∫∫∫=+∞∞−+∞∞−102),(16)32()(1032102==−=−=∫cxxcdxxxc所以c=6(2)因为，当10≤≤x时，)(6),()(22xxdycdyyxfxfxxX−===∫∫+∞∞−所以，X的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤−=其他010)(6)(2xxxxfX又因为，当10≤≤y时，)(66),()(yydxdxyxfyfyyY−===∫∫+∞∞−所以，Y的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤−=其他010)(6)(yyyyfY3.11求习题3.7中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X=1时，Y的条件分布为5175.015.0)1|0(====XYP3175.025.0)1|2(====XYP15775.035.0)1|2(====XYP即Y025P1/51/37/15(2)当X=3时，Y的条件分布为5125.005.0)3|0(====XYP251825.018.0)3|2(====XYP25225.002.0)1|2(====XYP即Y025P1/518/252/25(3)当Y=0时，X的条件分布为4320.015.0)0|1(====YXP4120.005.0)0|3(====YXP即X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为581.043.025.0)2|1(====YXP419.043.018.0)2|3(====YXP即X13P0.5810.419(5)当Y=5时，X的条件分布为946.037.035.0)5|1(====YXP054.037.002.0)5|3(====YXP即X13P0.9460.0543.12设X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0x1)时,Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度函数.解：因为⎩⎨⎧=其他0101)(xxfX，⎪⎩⎪⎨⎧−=其他0111)|(|yxxxyfXY所以(X,Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧−=⋅=其他01,1011)|()(),(|yxxxxyfxfyxfXYX于是yydxxdxyxfyfyY−=−−=−==∫∫+∞∞−11ln)1ln(11),()(0)10(y故Y的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧−=其他01011ln)(yyyfY3.13设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为2,01,02,(,)30,xyxxyfxy⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求条件概率密度(),XYfxy(),YXfyx以及11{}22PYX=.解：因为，当10≤≤x时，xxdyxyxdyyxfxfX322)3(),()(2202+=+==∫∫+∞∞−又当20≤≤y时，631)3(),()(102ydxxyxdxyxfyfY+=+==∫∫+∞∞−所以，在Y=y的条件下X的条件分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++==其他010226)(),()|(2|xyxyxyfyxfyxfYYX在X=x的条件下Y的条件分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++==其他020263)(),()|(|yxyxxfyxfxyfXXYdyydyyfXYPXY∫∫+===210210|523)21|()21|21(407401203)10103(2102=+=+=yy3.14问习题3.7中的X与Y是否相互独立？解:由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37{1}PX==0.75,{2}0.43PY==,而{1,2}0.25PXY===,显然{1}PX={2}PY×=≠{1,2}0.25PXY===,从而X与Y不相互独立.3.15设二维随机向量(,)XY的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.X\Y02510.150.250.3530.050.180.02问,ab取何值时,X与Y相互独立?解：因为311819161)1(=++==XP，aYP+==91)2(要X和Y相互独立，则)2()1()2,1(=====YPXPYXP即)91(3191a+=，得929131=−=a由(1)(2)1PXPX=+==，得12(2)1(1)133PXPX==−==−=即3231=++ba，得913132=−−=ab3.16问习题3.8和习题3.9中的X与Y是否相互独立？解：由习题3.8，二维随机向量(,)XY的概率密度函数为23,02,01,(,)20,xyxyfxy⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他X的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0202/)(xxxfX，Y的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0103)(2yyyfY，显然有(,)()()XYfxyfxfy=，X与Y相互独立.由习题3.9,维随机向量(,)XY的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,yxxyxfxy−≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他,X的边缘分布密度为22.4(2)01()0Xxxxfx⎧−≤≤=⎨⎩其他，Y的边缘分布密度为22.4(34)01()0Yyyyyfy⎧−+≤≤=⎨⎩其他,显然有(,)()()XYfxyfxfy≠，X与Y不独立.3.17设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为21,0,0,(1)(,)0,xxexyyfxy−⎧⎪+=⎨⎪⎩其他,问X与Y是否相互独立?解：因为dyyxedyyxfxfxX∫∫+∞−+∞∞−+==02)1(1),()()0()11(0=+−=−+∞−xxeyxexxdxyxedxyxfyfxY∫∫+∞−+∞∞−+==02)1(