混沌现象

1《混沌现象》讲稿（按讲授4学时准备）引言§1混沌现象由倍周期分岔通往混沌的道路一、混沌现象实例二、由倍周期分岔通往混沌的道路§2混沌现象的特性、本质及应用一、混沌现象的特性二、混沌现象的本质三、混沌现象的应用主要参考文献2混沌现象引言混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量分子的无规则运动。再者，作以下的界定也是必要的。即我们所讲的混沌现象是比较广义的，即不仅讨论混沌状态下的运动变化过程，也讨论由有序向混沌演化的特点。对于以上论断及种种概念后面都要慢慢解释的。但为了方便学习，要先明确几点。随机性是概率论的语言，大体就是偶然性、混乱、无规则的意思。对线性和非线性得多说几句。线性和非线性的区分粗略地说就是看函数关系或方程的形式。如xy就是线性的，2xy就是非线性的。以下作个比喻来体会二者的区别。设x为人数，y为完成的作业量数日。对xy，设11x有11y，设22x有22y；若又设321xxx，则有321yyy，即整体等于部分之和。而对2xy则不然。设11x有11y，设22x有42y；若又设321xxx，则9y，此时521yyy。即整体大于部分之和。可以这样理解：人与人之间相互作用，相互影响的存在是必然的，三个以上的人之间就会出现所谓的非线性交叉耦合作用。此外，对混沌的理解也和该词的原有语意“一片混乱”不同，从物理角度讲，混沌的内涵要丰富得多。长期以来，人们对牛顿力学对运动的描述具有确定性这一点深信不疑。因为用牛顿定律解题，结果总是确定的。所以，人们认为只要初始条件确定，系统未来的运动状态也就完全确定了下来，初始条件的细微变化对运动不会产生本质的影响，而只能使运动状态产生微小的变化。也就是说，用牛顿力学描述的运动都是规则的，系统的行为都是确定的。但事情远非如此简单。早在100年前，法国著名数学家、物理学家庞加莱在研究三体(两颗行星、一颗卫星)问题时发现牛顿力学的确定论的确存在问题。卫星轨道是不确定的！毫无疑问，这是对牛顿力学确定论思想最初的质疑。其实庞加莱描述的就是所谓的混沌现象，庞加莱可谓混沌现象研究的先驱。庞加莱的确太超前了。直到本世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。如今，混沌现象的研究已经深入到自然科学乃至社会科学的方方面面，其重要性日显突出。为了使大家对混沌现象这一非线性物理学的核心内容有所认识，有所理解，我们本着讲叙要由浅入深，由现象到本质的宗旨准备作如下安排。首先比较系统地介绍一些混沌现象。在有了一些初步感觉和认识之后再着重讲述由倍周期分岔通往混沌的道路，进而集中展现混沌现象的特性和本质。最后还要认真地谈一谈混沌现象的应用。3§1混沌现象由倍周期分岔通往混沌的道路一、混沌现象实例1．一般举例虽然混沌现象随处可见，但因为我们对它了解太少，所以往往视而不见，忽略了它的存在。要充分认识混沌现象的确是一件很难的事。但容易理解或比较容易理解的混沌现象的例子还是可以举出很多的。如蝴蝶效应、湍流、三体问题、昆虫繁衍、机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动等。另外，癫痫病患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线代表的就是曲型的混沌现象。单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态。而在政治、经济、战争、教育等社会科学各个领域也发现了许多混沌现象实例。下面将着重讲三个例子：三体问题、蝴蝶效应和昆虫繁衍问题。2．三体问题让我们再回来谈庞加莱。首先考虑一个比较特殊的三体问题：一颗质量很小的卫星在两颗大质量(为简单可设质量相等)的行星作用下运动。假定行星在它们之间的万有引力作用下绕其联线中心作圆周运动，而卫星质量很小，对行星运动的影响可以忽略。同时假定三个天体在同一平面内运动。现在要问：卫星在两颗行星作用下的运动情况如何呢？上述模型及由牛顿运动定律和万有引力定律所列出的方程看上去挺简单的，但它们所代表的运动却十分复杂，竟然无法得到解的数学解析式。现在知道原因在于方程的非线性。庞加莱对三体问题进行了深入的探讨，以其巨大的智慧，超常丰富的想像力发明了一套独特的定性研究方法，证明了方程根本不存在数学解析解。当年并没有计算机，但庞加莱却能推断出卫星长期运动的轨道是缠来绕去，错综复杂的。他在《科学的价值》一书中肯定地指出：一个非常小的原因会引出一个我们不可能视而不见的重要结果。系统的运动和变化对初始条件的依赖极其敏感，系统的长期行为似乎有一种不确定性。庞加莱没有借助计算机而得到的结论竟完全正确。今天，用计算机通过数值计算很快可以得到卫星的运动轨迹，发现在三体问题中运动对初始条件的依赖的确敏感。当两次计算设初始速度相同而初始位置稍有出入时，计算表明，经过一段时间后，它们的轨迹就分开了很大距离，该系统的演化过程是不可长期预测的，4系统的运动是混沌的。在这样一个简单的二维三体问题中，极小的偏差竟然使完全确定性的牛顿运动定律给不出确定的答案，真是令人难以置信！3．蝴蝶效应今天，“蝴蝶效应”几乎成了混沌现象的代名词。1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！图1为两次计算结果逐渐显示出来的巨大差别。图1长期天气预报是不可能的后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。蝴蝶效应的姊妹效应很多。如“千里之堤，渍于蚁穴”也是一种混沌现象，不妨称之为“蚁穴效应”。控制论的创立者维纳曾引用一首民摇对混沌现象作了生动描述：丢失一个钉5子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。这又不妨叫做“蹄钉效应”。蹄钉效应对混沌现象小误差的繁殖、生长和逐级放大的特点描绘得尤其逼真。4．昆虫繁衍虫口模型虫口方程昆虫繁衍是个有代表性的混沌现象。由分析昆虫繁衍提出的虫口(即昆虫数量，昆虫“人口”，简称虫口)模型及描述昆虫繁衍的非线性方程——虫口方程在研究果木产量及家畜数量变化时也大体适用。就是在研究地球上日益严重的人口爆炸问题时也有重要的借鉴作用，其现实意义是很大的。另外，讲昆虫繁衍问题也是为由倍周期分岔通往混沌的道路作铺垫，作先导。假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，在1976年生物学家梅最终得到虫口方程如下：)1(1nnnXXX式中各量的取值范围为n：1，2，3，···nX：[0，1]：[0，4]式中各量的意义如下。假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为oN，且oN1。第n代虫口数为nN，则nnNX/oN，是为第n代的相对虫口数。显然，1就是最大虫口数目，故nX的值不能超过1。是控制参量。虫口模型要求取值[0，4]，这是因为在4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对)1(51nnnXXX当代入nX0.5后会得到1nX1.25，而最大相对虫口数只能为1，1nX1.25显然没有意义。在下一个段落，我们会惊奇地发现，随着时间的堆移，随着的变化，许多始料不及的事情将会发生。虫口方程的形式很简单，但其内容却十分丰富，值得进一步去研究它。二、由倍周期分岔通往混沌的道路混沌是过程的科学，演化的科学。由倍周期分岔通往混沌的道路是实现混沌6的典型方式。以下对虫口方程进行迭代展开讨论。所谓迭代就是重复的意思。首先确定一个值，取初始值1X作为自变量代入方程得出2X，然后再将2X代入方程得到3X······最后看一看可能的“归宿”如何。改变控制参量后再一步步做下去又会有许多发现。迭代得到的最后归宿的基本功形象如图2所示。对于不同的值，有可能的不同归宿，故分岔图是方程依赖控制参量所得到的不同演化归宿的图象集合。如果随时间变化且不断由小增大，则由倍周期分岔通往混沌的道路就彻底打通了。图2倍周期分岔图(未按比例)以下列举典型迭代结果及初步认识。1．取：0—1迭代容易验证，在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程)1(1nnnXXX迭代归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。2．取：1—3迭代迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周期解，同样对应系统的稳定状态。显然，到目前为止非线性尚未显示什么作用。如对方程)1(21nnnXXX作迭人，取1X0.1则有2X0.18，3X=0.2952，4X0.416111392，75X0.485924299，6X0.4999604721，7X0.499999687，8X0.499999999······可见很快收敛于*X0.5又对方程1nX2.5)1(nnXX作迭代，取1X0.1也只须十几次迭代就收敛于*X0.6了。不过与上一迭代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在*X值上下产生小幅振荡，并最终收敛于*X0.6。3．取：3—3.569迭代迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中在3—3.449之间为2周期，在3.449—3.544间为4周期······随着的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至=3.569时分岔周期变为，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时系统开始进入完全的混沌状态。混沌区对应取值3.569—4。举一个2周期迭代的例子。对方程1nX3.2)1(nnXX迭代的“终态”在两个确定值*1X0.5130与*2X0.7995之间跳跃。取初始值1X0.5时只需迭代十次左右就接近“终态”*1X与*2X了。再举一个4周期迭代的例子。对方程)1(5.31nnnXXX迭代的“终态”依次在3828.0*1X，8269.0*2X，*3X0.5009，*4X0.8750间跳跃。取初始值5.01X时也只需迭代十次左右就可接近“终态”*1X、*2X、*3X、*4X了。4．用作图法表示迭代过程为了对周期解，对演化过程有进一步认识，现在介绍表示迭代过程的图解法(见图3)。在直角坐标系中先分别作出nnXX1|的45°斜线及)1(1nnnXXX的抛物线。然后在nX轴上取初始值(自变量)1X，作竖直线交于抛物线即得2X，再作水平线交于斜线，交点即为自变量2X，再作竖直线交于抛物线即得3X······一直作下去每一幅图就代表取定值时的迭代演化过程。8图3虫口方程图解法从作图和迭代计算两个侧面讨论问题，图算结合，则混沌演化过程的图象应该说就比较清晰了。5．倍周期分岔是一种具有