数学归纳法知识点大全(综合)

1/5数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．（1）第一数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果①0nn（Nn01．数学归纳法的基本形式）时，)(nP成立；②假设),(0Nknkkn成立，由此推得1kn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数0nn时，)(nP成立．（2）第二数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果①当0nn（Nn0）时，)(nP成立；②假设),(0Nknkkn成立，由此推得1kn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数0nn时，)(nP成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当ln,,3,2,1时，)(,),3(),2(),1(lPPPP成立，②假设kn时)(kP成立，由此推得lkn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数1n时，)(nP成立．（2）反向数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果2/5①)(nP对无限多个正整数n成立；②假设kn时，命题)(kP成立，则当1kn时命题)1(kP也成立，那么根据①②对一切正整数1n时，)(nP成立．例如，用数学归纳法证明：为非负实数，有在证明中，由真，不易证出真；然而却很容易证出真，又容易证明不等式对无穷多个（只要型的自然数）为真；从而证明，不等式成立．（3）螺旋式归纳法P（n），Q（n）为两个与自然数有关的命题，假如①P(n0)成立；②假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；综合（1）（2）,对于一切自然数n（n0），P(n),Q(n)都成立；（4）双重归纳法设是一个含有两上独立自然数的命题．①与对任意自然数成立；②若由和成立，能推出成立；根据（1）、（2）可断定，对一切自然数均成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对0n也成立，而且验证起来比验证1n时容易，3/5因此用验证0n成立代替验证1n，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．（2）起点增多：有些命题在由kn向1kn跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设kn时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．5．归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：4/5第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n22n”这一类命题。只针对偶数或只针对奇数如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：奇数方面：第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。偶数方面：第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。递降归纳法数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。5/5（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设n0≤n=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；（四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设P(k）（kn0）成立，能推出Q(k）成立，假设Q(k）成立，能推出P(k+1）成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。