空间角的求法

空间角的求法一、异面直线所成角的求法平移法常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点）；补形平移法。“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。（1）直接平移法例1如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的正切值。（524）（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。例2设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。（510）（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。例3在正方体1111DCBAABCD中，E是1CC的中点，求直线AC与ED1所成角的余弦值。（510）BMANCS二、线面角的三种求法1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（60°）（2）SC与平面ABC所成的角。（77）（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线。作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式lhsin：其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D所成的角的正弦值。（54）3.利用公式21coscoscos：如图，若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面内的射影，OC为面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，1为OA与OB所成的角，即BMHSCAA1C1D1H4CB123BAD线面角，2为OB与OC所成的角，那么21coscoscos，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3已知直线OA，OB，OC两两所成的角为60°，求直线OA与面OBC所成的角的余弦值。（33）二、二面角的四种求法1.定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，点M是侧棱SC的中点，2AD，2DCSD，ABM=60°，求二面角SAMB的大小。（36）2.三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，OαDACBACBP再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。例2如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形．且3AB，2AD，2PA，22PD，60PAB（Ⅰ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角ABDP的正切值．（439）3.补棱法：本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3如图，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.（32）4.射影面积法（斜面射影SScos）：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos斜射SS）求出二面角的大小。如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的余弦值的大小。（33）A1D1B1C1EDBCA