高中数学新课程创新教学设计案例--函数的表示方法

7函数的表示方法教材分析函数的表示方法是对函数概念的深化与延伸．解析法、图像法和列表法从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．这三种表示方法既可以独立的表示函数，又可以相互转化；既各有侧重和优势，又各有劣势和不足；既相互补充，又使函数随自变量的变化而变化的规律直观和具体．这节内容，是初中有关内容的深化、延伸与提高．教材在复习初中三种表示方法定义的基础上，分三个层次对三种表示方法进行了比较．第一个层次：回顾与比较；第二个层次：选择与比较；第三个层次：转化与比较．教学重点：画简单函数的图像；教学难点：分段函数的解析式求法及其图像的作法．教学目标1.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并解简单应用．3.能根据简单的实际问题，建立函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的意义．任务分析学生在初中已经对这节内容有了初步的认识．这节的教学任务是在学生原认知水平的基础上，用对应的观点认识函数，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数，明确三种表示方法各有优劣，在一定条件下可以相互转化．为突出根据简单的实际问题建立函数关系式，画出它们的图像这个重点，除学习教材中的实际问题外，又增加了练习．为突破分段函数这个难点增加了高斯函数作为练习．教学设计一、问题情景1.复习引入（1）复习初中三种函数的表示方法．（2）学生回答函数三种表示方法的定义．2.方法探究（1）复习与比较例：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元．试用三种表示方法表示函数y＝f（x）．（2）引导学生分析讨论①三种表示方法的各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？②函数图像上的点满足什么条件？满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在什么地方？二、建立模型1.教师明晰函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．采用解析法的条件：变量间的对应法则明确；采用图像法的条件：函数的变化规律清晰；采用列表法的条件：函数值的对应清楚．函数图像上的点满足函数关系式y＝f（x），满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在函数图像上，故函数图像即为点集p＝｛（x，y）｜y＝f（x），x∈A｝．2.比较与分析例：下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分：表7-1第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三名同学在高一学年度的数学学习情况进行分析．学生分析讨论：本例是用何种方法表示函数的？要分析“成绩”与“测试次数”之间的变化规律，用何种方法表示函数？注意：在这里选择何种表示方法，要根据问题的具体情况和三种表示方法的长处来确定．3.教师进一步明晰将“成绩”与“测试次数”之间的函数关系用函数图像表示出来，就能比较直观地看到成绩的变化情况．4.转化与比较例：画出函数y＝｜x｜的图像．5.教师归纳、整理初中作函数图像的基本方法是列表、描点和连线，但这个方法比较烦琐．我们可以把初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基本函数的图像来解决．y＝｜x｜，若不含“｜｜”号，则是我们初中学过的y＝x，现在含绝对值号，故去绝对值号，得分段函数而分段函数的图像只要分段作出即可．三、解释应用［练习一］1.作出y＝｜x－1｜的图像，与函数y＝｜x｜的图像比较，并说出你发现了什么．2.作出y＝x2＋2｜x｜＋1的图像．3.若x2＋2｜x｜＋1＝m，当m为何值时，关于x的方程有四个解？三个解？两个解？无解？［例题］某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车不超过5km，票价2元．（2）超过5km，每增加5km，票价增加1元．（不足5km的按5km计算）已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意写出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像．学生分析讨论：函数定义域是什么？值域是什么？图像如何作？教师引导学生写出如下解答过程．解：设票价为y元，路程为xkm．如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的路程约为20km，故自变量x的取值范围是x∈（0，20］，且x∈N，函数y的取值范围是y∈｛2，3，4，5｝．由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数的图像函数图像共有20个点构成．像例3、例4这样的函数称为分段函数，分段函数的图像应分段作．［练习二］1.下图都是函数的图像吗？为什么？（D）目的：进一步深化对函数概念和函数图像的理解．2.某人从甲镇去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，图中横轴表示运动的时间，纵轴表示此人与乙村的距离，则较符合该人走法的图像是（）．（D）3.小明从甲地去乙地，先以每小时5km的速度行进1h，然后休息10min，最后以每小时4km的速度行进了30min到达乙地．（1）试写出速度v（km／h）关于出发时间t（h）的函数关系式，并画出图像．（2）试写出小明离开甲地s（km）关于出发时间t（h）的函数关系，并画出图像．四、拓展延伸1.设x是任意的一个函数，y是不超过x的最大整数，记作：y＝［x］，问：x与y之间是否存在函数关系？如果存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像．答案：存在函数关系，是著名的高斯函数．现只写出x∈［－1，1］的函数关系：y＝图像略．2.某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤气用量和支付费用如下表所示：表7-2月份用气量煤气费1月份4m24元2月份25m214元3月份35m219元该市煤气的收费方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．若每月量不超过最低限度Am3，则只付基本费3元和每月每户的定额保险C元；若用气量超过Am3，超过部分每立方米付B元，又知保险费C不超过5元．根据上面的表格，求A，B，C．分析：可设每月用气量xm3，支付费用y元，建立函数解析式解之．解：设每月用气xm3，支付费用y元，则由0＜C≤5，得3＋C≤8．由第2和3月份的费用都大于8，得两式相减，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．再分析1月份的用气量是否超过最低限度．不妨令A＜4，将x＝4代入3＋B（x－A）＋C，得3＋0.5［4－（3＋2C）］＋C＝4，由此推出3.5＝4，矛盾，∴A≥4，1月份付款方式为3＋C．∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．∴A＝5，B＝0.5，C＝1．点评这篇案例分三个层次对三种表示方法进行了比较：第一层次：用一个简单的例子对函数的三种表示方法进行了复习和比较；第二层次：对函数的三种表示方法进行了比较，选择了适当的方法表示函数；第三层次：三种表示函数的方法的相互转化．三个层次，层层深入，并对三种表示方法的优、劣进了比较，重点突出．拓展延伸通过高斯函数，加深了学生对抽象函数、分段函数的认识．在注重三种表示方法的同时，加强了学生应用意识的培养．