弧微分等价代换定理的适用范围

PureMathematics理论数学,2018,8(5),565-575PublishedOnlineSeptember2018inHans.://doi.org/10.12677/pm.2018.85075文章引用:孙璐,张佳羽,张拥军,张蕊,孙长利.弧微分等价代换定理的适用范围[J].理论数学,2018,8(5):565-575.DOI:10.12677/pm.2018.85075TheScopeofArcDifferentialEquivalentSubstitutionTheoremLuSun1,JiayuZhang2,YongjunZhang3,RuiZhang3,ChangliSun3*1XingyangMunicipalBureauofLandTax,XingyangHenan2XinyangNormalUniversity,XinyangHenan3XingyangWaterBureau,XingyangHenanReceived:Sep.4th,2018;accepted:Sep.19th,2018;published:Sep.26th,2018AbstractThearcdifferentialofplanarsmoothcurveisextendedtothethree-dimensionalcoordinatesys-tem.Accordingtotheequivalentsubstitutionrelationbetweenarcdifferentialintwo-dimensionalconditionandarcdifferentialinthree-dimensionalcoordinatesystem,theapplicablescopeofarcdifferentialequivalentsubstitutiontheoremisdetermined.Theequivalentsubstitutiontheoremofarcdifferentialcaneffectivelysolvethealgorithmofelectromagneticfieldanalyticalsolutionswithcircularfieldsources,Canbeusedasasupplementarycontentofteachingmaterialsandteachingformathematicsandphysicselectromagnetismcoursesincollegesanduniversities.KeywordsFunction,SmoothCurve,ArcDifferential,EquivalentSubstitution,Theorem弧微分等价代换定理的适用范围孙璐1，张佳羽2，张拥军3，张蕊3，孙长利3*1荥阳市地税局，河南荥阳2信阳师范学院，河南信阳3荥阳市水务局，河南荥阳收稿日期：2018年9月4日；录用日期：2018年9月19日；发布日期：2018年9月26日摘要把平面光滑曲线弧微分拓展到空间坐标系中，完成二维条件下的弧微分与空间坐标下弧微分的等价代换，*通讯作者。孙璐等DOI:10.12677/pm.2018.85075566理论数学确定了弧微分等价代换定理的适用范围。弧微分等价代换定理可以有效解决有圆形场源存在的电磁场解析解算法问题，可作为高等院校数学和物理电磁学课程教材及教学的补充内容。关键词函数，光滑曲线，弧微分，等价代换，定理Copyright©2018byauthorsandHansPublishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).引言本文以讨论弧微分等价代换定理的适用范围，正确掌握其使用方法不错用为目的。求函数积分的解析解比近似数值解算法更有优越性，法国数学家刘维尔(JosephLiouville，1809年3月24日生于法国加来海峡省圣奥梅尔，1882年9月8日卒于巴黎)1833年证明，应用广泛的全椭圆积分没有解析解[1]，尽管全椭圆积分形式很简单，鉴于此没有解析解的证明，180多年以来，只有采用近似数值解算法。只是近10多年，如“轴对称线圈磁场的精确计算方法研究”[2]、“圆柱导体磁场的解析解算法研究”[3]、“关于电磁场解析方法的一些认识”[4]等论文相继发表，电磁场解析方法取得了巨大进步。使用弧微分等价代换定理，把平面光滑曲线的弧微分拓展到空间坐标系中，根据二维条件下的弧微分与空间坐标下的弧微分所构成优化的等价代换关系，通过积分变换，有效减少了积分变量的数量，积分过程避开了解全椭圆积分问题，变无理函数的积分为有理函数的积分，降低了积分的难度，积分结果得到了有限形式的封闭解，准确揭示了轴对称线圈、圆柱导体等空间磁场解析解算法的特征[2][3][4]。尽管有关论文[2][3]已对弧微分等价代换方法进行了探讨和表述，但对其一般性论证及适用范围问题仍缺乏进一步的明确。任何定理都有其适用范围，弧微分等价代换定理也不例外，其一般性论证以及确定其适用范围，对全面掌握和正确运用该定理的使用方法，防止错用是十分必要的，在遇到类似的计算问题时，发挥其精确解析解具有近似数值解算法所不能替代的优势[3]，可使有关的计算问题变得简单化，可提高计算的精确度和速度，编入大学数学和物理教材的话，对相关学科教学及工程领域的推广应用都显得很有必要。2.弧微分等价代换定理的一般性论证2.1.平面光滑曲线弧微分在平面及空间坐标下的表述如图1所示，在平面坐标xoy内，光滑曲线C是y=f(x)在x=a到x=b之间的图象，在曲线C上取点A作为度量弧长的起点，并规定依x增大的方向作为弧的正向，C上已知点P(x,y)及邻点(),Qxxyy+∆+∆，s表示曲线弧AP的长度，即sAP=显然，弧长s是随着x的确定而确定，因此弧长s是x的函数，记作()ssx=连OP、OQ、PQ(=Δs)；其极坐标：POx∠=Φ，POQ∠=∆Φ，OPρ=，OQρρ=+∆，cosxρ=Φ，OpenAccess孙璐等DOI:10.12677/pm.2018.85075567理论数学Figure1.Arcdifferentialequivalentsubstitution图1.弧微分等价代换()()cosxxρρ+∆=+∆Φ+∆Φ，sinyρ=Φ，()()sinyyρρ+∆=+∆Φ+∆Φ[5]，过P作PDOQD′′⊥；在立体坐标系中有任一关系点(),,Gxyh，G在xoy平面内的投影为G'，GGh′=，连GP、GQ，过P作PDGQD⊥，GP=，GQ=+∆，GGPθ′∠=，PGQθ∠=∆，()θ=[5]。讨论弧微分等价代换定理，即()()ddssθφ=成立。1)：直角坐标xoy中(注意弦PQ和Δx、Δy组成的小直角三角形)，()()()()2222sPQxxxyyyxy∆==+∆−++∆−=∆+∆[6][7]，()()()()()2222200dlimdlimddd1dxyxyPQsxxxyfxxxx∆→∆→∆+∆′∴===+=+∆∆(1)2)：极坐标下，对()cosxρφφ=求微分，得()()dcosdsind,xρφφφρφφφ′=−对()sinyρφφ=求微分，得()()dsindcosd,yρφφφρφφφ′=+()()()()()()()()222222dddcosdsindsindcosddsxyρφφφρφφφρφφφρφφφρφρφφ∴=+′′=−++′=+(2)结果：式(1)=式(2)。3)求弧微分ds(Φ)(参考图1)①求微小弦的改变量：在微小RtΔPD'Q中，()sin,cos1cos,PDQDOQODρφρρρφρρφ′′′=∆=−=+∆−∆=∆+−∆()()22221cossinPQsQDPDρρφρφ′′∴=∆=+=∆+−∆+∆[5]。孙璐等DOI:10.12677/pm.2018.85075568理论数学②()()()()()()()()2200222221cossindlimdlimdddddssφφρρφρφφφφφφρφρφφρφρφφφ∆→∆→∆+−∆+∆∆==∆∆′=+=+(3)结果：式(3)=式(2)。4)求弧微分ds(θ)(参考图1)①求微小弦的改变量：在空间坐标系中，注意小RtΔPDQ，()sin,cos1cos,PDQDGQGDθθθ=∆=−=+∆−∆=∆+−∆()()()22221cossinPQsQDPDθθθ∴=∆=+=∆+−∆+∆[5]。②()()()()()()()()()2200222221cossindlimdlimdddddssθθθθθθθθθθθθθθθθθ∆→∆→∆+−∆+∆∆==∆∆′=+=+(4)2.2.弧微分等价代换定理，即证明()()ddssθφ=成立如图1，在ΔPD'Q中,()()()22221cossin,PQsQDPDφρρφρφ′′=∆=+=∆+−∆+∆在ΔPDQ中,()()()22221cossin,PQsQDPDθθθ=∆=+=∆+−∆+∆因PQ(=Δs)是小RtΔPD'Q和小RtΔPDQ公共斜边，所以()().ssPQθ∆=∆Φ=令函数()()()()()()22221cossin1cossin0Zssφθρρφρφθθ=∆−∆=∆+−∆+∆−∆+−∆+∆=函数Z对Δs(Φ)和Δs(θ)的偏导数：()()()2222001cossindlimlimdZssφφρρφρφρρφφφφ∆→∆→∆+−∆+∆∂∆===+∂∆∆∆[8][9]，()()()2222001cossindlimlimdZssθθθθθθθθ∆→∆→∆+−∆+∆∂∆===+∂∆∆∆[8][9]。函数Z的全微分：因为()()0Zssθ=∆Φ−∆=，且()()()()2222,ddddddd0ddssZZZssφθρφθρφθφθφθ∆∆∂∂=−=+−+=∂∆∂∆，孙璐等DOI:10.12677/pm.2018.85075569理论数学即2222ddddddρρφθφθ+=+，所以()()ddssθΦ=[即式(4)=式(3)]成立。说明：在空间坐标系中，因GGh′=是函数y=f(x)的曲线C所在平面的已知垂线，沿曲线C，当Q→P(或0PQ→)时，直角ΔGG'Q→直角ΔGG'P(全等)，即ΔGG'Q和ΔGG'P各自所在的平面趋向于同一极限，有GQ→GP(且GPGGP′⊂∆所在平面)、QGGθθ′+∆→∠。且ΔGG'P中，ℓ=h/cosθ，则()()222222ddcosdddddcoscosdhhhsθθθθθθθθθ=+=+=[2]。3.弧微分等价代换定理适用范围的讨论条件(1)：使()()()222222ddcosddddd.dcoscosdhhhssθθθθθφθθθθ=+=+==成立，必须满足h≠0，即G点不在xoy平面内。证明(反证法)：假设h=0时，()()()222222ddcosddddddcoscosdhhhssθθθθθφθθθθ=+=+==成立。有()()222222ddcosdddd0,dcoscosdhhhsθθθ