特征值与特征向量优秀教学设计

-1-/4特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。例1：对于相关x轴的反射变换σ：1001xxyy，从几何直观上可以发现，只有x轴和平行于y轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，反射变换σ只把形如10k和20k的向量（其中1k，2k是任意常数），分别变成与自身共线的向量。可以发现，反射变换σ分别把向量10k，20k变成10k，20k。特别的，反射变换σ把向量110变成110，把向量201变成01。用矩形的形式可表示为-2-/4101110100，100010111。例2：对于伸缩变换ρ：1002xxyy，从几何直观上可以发现，只有x轴和平行于y轴的直线在伸缩变换ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，伸缩变换ρ只把形如10k和20k的向量（其中1k，2k是任意常数）分别变成与自身共线的向量。可以发现，伸缩变换ρ把向量10k，20k变成10k，2022k。特别地，伸缩变换ρ把向量201变成110，把向量201变成20221。用矩形的形式可表示为101110200，101120200。教师：让学生结合引入的问题，探讨出“不变形”。教师：总结并引入课题的主内容——矩阵特征值与特征向量的定义。接下来，我们先来学习阵特征值与特征向量的定义与相关性质，它的具体内容是：定义：设矩阵abAcd，如果存在数λ以及非零向量，使得A，则称λ是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量。注意：①特征向量必须是非零向量。②特征值与特征向量是相伴出现的。性质：①一般地，设是矩形λ的属性特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属性特征值λ的特征向量。②一般地，属性矩阵的不同特征值的特征向量不共线。它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例1．试从几何直观上，利用线性变换求矩阵31221322A的特征值与特征向量。-3-/4教师板书展示解析。根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。练习：试从几何直观上，利用线性变换求矩阵31221322A的特征值与特征向量。三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了定义：设矩阵abAcd，如果存在数λ以及非零向量，使得A，则称λ是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量。性质：①一般地，设是矩形λ的属性特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属性特征值λ的特征向量。②一般地，属性矩阵的不同特征值的特征向量不共线。（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．从几何直观上，找出下列线性变换的所有特征值和特征向量：（1）旋转变换πR；（2）恒等变换；（3）零变换0（把平面上的每个向量都变为0向量）；（4）关于x轴的正投影变换10:00xxyy；（5）关于y轴的反射变换10:01xxyy；（6）平行于y轴的切变变换1011xxyy。-4-/42．设二阶矩阵A有两个不同特征值1，2，1，2是分别属于特征值1，2的任意特征向量，证明向量1与2不共线。