一类高考导数压轴题的统一解法

一类高考导数压轴题的统一解法163316黑龙江省大庆实验中学姜本超导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.2011年全国新课标卷理科数学21题就是一道典型的以导数为背景，通过求最值分类讨论解决恒成立问题。学生在思考的过程中会产生两种常见的想法，但并不是每一种方法都能达到预期的效果，下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法。原题：（2011年高考试题全国新课标卷理科数学21题）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy．（I）求,ab的值；（II）如果当0x且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围．解：（I）略（II）由（Ⅰ）知22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx．考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx．(i)设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx．而(1)0h，故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当(1,)x时，()0,hx21()01hxx可得从而当0,x且1x时，ln()1xkfxxx恒成立（ii）设01k时由于当21(1,)(1)(1)20,1xkxxk时，故'()0,hx而1(1)0,(1,)1hxk故当时，()0,hx21()01hxx与题设矛盾（iii）设1,'()0,(1)0,khxh此时而故当(1,)()0,xhx时，可得出矛盾综合可得k的取值范围是(,0]评析：该题在解决的过程中是通过构造一个新的函数，通过讨论该函数的单调性和零点，找出恒成立的范围，再举出反例将其它范围舍去。在解决该类问题时还有一个常见的办法，就是分离变量，下面我们试一试。解：分离变量得221ln1xkxx由于在1x时没有意义，故变形为221(12ln)1kxxxx，令2()12lngxxxx则1'()2(1ln),''()2(1)gxxxgxx，易知当1x时'()gx取到最小值所以'()'(1)0gxg，(1)0g所以1()0,01()0xgxxgx时时所以221(12ln)01xxxx恒成立，故k的取值范围是(,0]评析：采用分离变量方法使计算过程变得简单明了，但仔细观察不难发现，这样的分离变量是有问题的，因为在1x时原函数是没有意义的，我们并不知道在1x时的极限，并且要证明函数的连续性，这些知识超出了高中的学习范围，是大学知识。事实证明，采用分离变量是存在问题的。对于这样的类型题有两个常见的方法可以选择，方法一：利用导数性质判断函数的单调性，研究函数的值域，分类讨论得出结果。方法二：大学知识辅助分离变量法。在高中阶段适合学生的是方法一，下面再举一例：案例1：（2010年高考试题全国新课标卷理科数学21题）设函数2()1.xfxexax（I）若0,a求()fx的单调区间.（Ⅱ）若0x时()0,fx求a的取值范围.解：（I）略（Ⅱ）解：'()12xfxeax，若12a，则'()1xfxex由（I）知10xex所以'()0fx，所以()(0)0fxf即()0fx若12a，由（I）知1xex，则1xex，即(1)(2)'()12(1)xxxxxeeafxeaee，当(0,ln2)xa时，'()0fx由于(0)0,f所以()(0)0fxf，所以当12a时不成立，故12a这道题的第二问是否也可以采取分离变量的方法呢？我们可以尝试一下：由已知得21xexax，令21()(0)xexgxxx,由图像知0x时取到极小值，且0x，由罗必塔法则可求得极限为01lim()2xgx，再根据函数的连续性可知12a.在高中阶段我们并没有学习求极限的方法，所以这道题不可以分离变量。那么2011年的高考题也有这样的情况吗？令221()(12ln)1uxxxxx，由函数图像知1x时取得极小值，可对()ux求极限，由罗必塔法则得1lim()0xux，所以0k。还有其它的高考题具有同样的特点吗？案例2：（2007年高考试题全国卷Ⅰ理科数学22题）设函数()xxfxee（I）证明：()fx的导数'()2;fx（Ⅱ）若对所有0x都有(),fxax求a的取值范围。解：（Ⅰ）略（Ⅱ）令()()gxfxax，则()()xxgxfxaeea，（ⅰ）若2a，当0x时，()20xxgxeeaa，故()gx在(0)，上为增函数，所以，0x时，()(0)gxg，即()fxax．（ⅱ）若2a，方程()0gx的正根为214ln2aax，此时，若1(0)xx，，则()0gx，故()gx在该区间为减函数．所以，1(0)xx，时，()(0)0gxg，即()fxax，与题设()fxax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是2，该题若进行分离变量即xxeeax，令()xxeegxx，由图像可知0x时取到极小值，但0x，由罗必塔法则可求得极限0lim()2xgx，所以2a，该题仍然可以用相同的方法解决。评析：以上三道高考题具有相同的特点，即第二问都可以通过讨论的方式，一部分范围是恒成立的，而另一部分范围则需要举出反例，舍去。在解决的过程中，通常还得用到恒等变形，适当放缩，所以难度都很大，在考场上想利用高中知识迅速准确的做对，都非常困难。在近五年高考中，全国卷共考了五次，不得不让我们对它给予高度的重视和研究。探究一下这类问题的本质，他们都不是连续函数，在无意义的点是不连续的，该点是函数的间断点，而且是函数的可去间断点，在间断点的两侧，该函数是单调函数，而且都是左减右增。利用大学知识，罗必塔法则可以求出该点的极限值，这三题的答案都是小于等于号，说明该极限值是一个极小值，这个极限值就是临界值。此类问题以大学数学中的函数连续为背景，存在着一个可去间断点，这个点就是讨论的重点。在高中阶段，无法求出极限值，极小值，只能通过分类讨论等办法，探求参数的取值范围。由上面的几道例题不难得出解决该类问题的统一方法，分两步走：一、通过分类讨论，探求使结论成立的参数范围，证明其恒成立。二、通过举出反例，将不符合要求的部分舍去。下面给出两个练习题，供大家思考：练习1：（2010年全国Ⅱ理数22题）设函数()1.xfxe（I）证明：当1();1xxfxx时，（Ⅱ）设当0x时，(),1xfxax求a得取值范围。答案：（I）略（Ⅱ）1[0,]2练习2：（2011年高考全国Ⅰ文数21题）设函数2()(1)xfxxeax（I）若12a，求()fx的单调区间；（Ⅱ）若当0x时()0,fx求a的取值范围；答案：（I）略（Ⅱ）(,1]