平面向量数量积及其坐标表示

平面向量数量积及其坐标表示,0时＝当o时，当o180时，＝当o90同向与ba反向与bababa垂直，记作与一、向量的数量积的定义（1）向量的夹角定义：设两个非零向量a和b，作＝a，＝b，共起点与ba则∠AOB＝θ叫a与b的夹角其范围是[0，π]，12060BACDBCAD与.1CDAB与.2DAAB与.3ABCD，∠DAB=600OAOB（2）数量积的定义：00:a规定cos||||baba其中：,0a0b0,范围是的夹角和是ba注意（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量.（2）这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。（3）数量积的几何意义：.cos||babBAOcosbabaabbacosabba.cos的乘积与数量的长度等于数量积baaba方向上的投影。在叫做向量abbcos注：二、数量积的运算律：⑴交换律：abba⑵数乘的结合律：)()()(bababa⑶分配律：cbcacba)(2)()())(1(bababa222bbaa等成立22)())(2(bababa注意基础练习（1）a·b=0a=0或b=01、判断以下命题正确吗？试说明理由。反之，a=0a·b=0（2）a·b＝a·cb＝c反之，b＝ca·b＝a·c（3）)()(cbacba2、若，且，则向量与的夹角为()||1,||2,abcabcaab×真命题真命题××120°的夹角，则与为方向相同的单位向量，是与都是非零向量，设eabeba,eaaebabaa或cosbacosa0ba同向时与当bababa反向时，与当baaa特别地，aa2a2aa2这三个尤其重要哦！计算模判定垂直计算夹角babababa三、向量的数量积的性质：1、已知a、b是非零的平面向量且满足(a–2b)⊥a，(b–2a)⊥b,则a与b的夹角是()2、已知a、b均为单位向量，它们的夹角是60°，那么|a+3b|＝（）60°13基础练习3、已知平面上三点A、B、C满足=3=4，=5，BCCAABABBC•则++BCCA•CAAB•的值等于-------–25AB问：若=2呢？平面向量数量积的坐标表示问题展示：),,(),,(2211yxbyxa已知怎样用ba,的坐标表示呢？请同学们看下列问题.ba设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列式子：ij①②③④=ii=jj=ji=ij1001那么如何推导出的坐标公式?ba解：2211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx)()(2211jyixjyixba这就是向量数量积的坐标表示。由此我们得到：两个向量的数量积等于它们对坐标的乘积之和。,,2211jyixbjyixa已知：结论：222221212121cos)(yxyxyyxx1cos探讨合作:非零向量它们的夹角，如何用坐标表示.若你又能得到什么结论？),,(),,(2211yxbyxaba0)(2121yyxxba20//1221yxyxba0)(2121yyxxba2:与的区别。21211yyxxba公式：0022121yyxxbababa222221212121cos3yxyxyyxx例题分析例：.),4,6(),7,5(baba求设2)4()7()6(5ba解：想一想的夹角有多大？ba,的夹角的余弦值。与），求向量，（），，、已知例baba1123(1练习：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证△ABC是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？证明：031)3(1ACAB所以△ABC是直角三角形)1,1()23,12(AB)3,3()25,12(AC)2,4()35,22(BC6563.D6533.B6533.C6563.AB1、若则与夹角的余弦值为（）),12,5(),4,3(baab2、已知：求证：)sin,(cos),sin,(cosba)(ba⊥)(ba)()(baba答案：∴)(ba⊥)(ba2222sinsincoscos)sinsin,cos(cos)sinsin,cos(cos3、设a=(m+1)i–3j，b=i+(m–1)j,且(a+b)⊥(a–b)，求实数m的值。的方向向量。称为直线共线的非零向量共线，我们把与直线与直线，（，则向量的直线定义：给定斜率为lmllkmlk)1的夹角。和，求直线和、已知直线例21210287:01243:4llyxlyxl