对数运算性质与指数运算性质.

新知探究题型探究感悟提升第2课时对数的运算新知探究题型探究感悟提升【课标要求】1．掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2．了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数．【核心扫描】1．利用对数的运算性质进行对数运算．(重点)2．利用换底公式解题．(难点)3．对数运算性质与指数运算性质．(易混点)新知探究题型探究感悟提升新知导学1．对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0.那么：(1)loga(M·N)＝(2)logaMN＝(3)logaMn＝，(n∈R)．logaM＋logaN.nlogaMlogaM－logaN新知探究题型探究感悟提升2．换底公式logab＝(a0，且a≠1；c0，且c≠1)．温馨提示：常用结论(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝nmlogab；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.logcblogca新知探究题型探究感悟提升互动探究探究点1若M·N0，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？提示不一定成立．当M0，N0时成立；当M0，N0时不成立．探究点2已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝a＋bb对吗？试说明理由．提示对．利用换底公式log36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a＋bb.新知探究题型探究感悟提升类型一对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18；(2)lg27＋lg8－3lg10lg1.2；(3)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路探索]灵活运用对数的运算性质求解．新知探究题型探究感悟提升解(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.＝32lg3＋3lg2－32lg10lg3＋2lg2－1＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.新知探究题型探究感悟提升[规律方法]1.对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．新知探究题型探究感悟提升【活学活用1】计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27.解(1)原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.新知探究题型探究感悟提升(2)原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝1＋45＋910－12lg34－3lg3＝115.新知探究题型探究感悟提升类型二换底公式的应用【例2】计算下列各式的值：(1)(log43＋log83)log32；(2)log22＋log279.[思路探索]先用换底公式化为同底的对数，再利用运算性质运算．新知探究题型探究感悟提升解(1)原式＝1log34＋1log38log32＝12log32＋13log32log32＝12＋13＝56.[规律方法]利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用．新知探究题型探究感悟提升【活学活用2】(1)(log29)·(log34)＝()．A.14B.12C．2D．4(2)log2125·log318·log519＝________.解析(1)(log29)·lg34＝(log232)·(log322)＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4.(2)原式＝lg125lg2·lg18lg3·lg19lg5＝－2lg5·－3lg2·－2lg3lg2lg3lg5＝－12.答案(1)D(2)－12新知探究题型探究感悟提升类型三对数的实际应用【例3】(2013·南阳高一检测)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)[思路探索]明确题意，找到剩余量与年数的关系，再用对数计算．新知探究题型探究感悟提升解设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.752；……经过x年，剩余量是y＝0.75x；由题意得0.75x＝13，∴x＝log0.7513＝lg13lg34＝－lg3lg3－lg4≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的13.新知探究题型探究感悟提升[规律方法]解对数应用题的一般步骤为：(1)理解题意，弄清各字母的含义；(2)恰当地设未知数，建立对数模型；(3)利用运算性质以及换底公式求解对数模型；(4)还原为实际问题，归纳结论．新知探究题型探究感悟提升【活学活用3】里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．新知探究题型探究感悟提升解析由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lgA1A2＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.所以A1A2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．答案610000新知探究题型探究感悟提升方法技巧巧用辅助量化指数式为对数式对数的概念实质上是给出了对数式与指数式间的关系，对此内容的考查往往是依据指数式与对数式的互化进行求值．如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，易于沟通指对数间的关系，简化求解过程．【示例】已知2x＝3y＝6z，证明1z＝1x＋1y或x＝y＝z.[思路分析]要想证明1z＝1x＋1y或x＝y＝z，需将条件中x，y，z表示出来，引入参数量2x＝3y＝6z＝k，进行指对数互化．新知探究题型探究感悟提升解令2x＝3y＝6z＝k0，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k.(1)若k＝1时，则x＝y＝z＝0.(2)若k≠1时，则1x＝logk2，1y＝logk3，1z＝logk6.∴1x＋1y＝logk2＋logk3＝logk6故1x＋1y＝1z.综上(1)(2)知：1z＝1x＋1y或x＝y＝z.新知探究题型探究感悟提升[题后反思]1.巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化是解题的关键．2．注意分类讨论思想的应用以及logab·logba＝1的应用．新知探究题型探究感悟提升课堂达标1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()．A．logax·logay＝loga(x＋y)B．(logax)n＝nlogaxC.logaxn＝loganxD.logaxlogay＝logax－logay解析根据对数的运算性质知，C正确．答案C新知探究题型探究感悟提升2．(2013·成都高一检测)式子log89log23的值为()．A.23B.32C．2D．3解析原式＝log2332log23＝23·log23log23＝23.答案A新知探究题型探究感悟提升3．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________.解析log34·log48·log8m＝lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8＝lgmlg3＝log3m＝2，∴m＝32＝9.答案9新知探究题型探究感悟提升4．(2013·日照高一检测)计算3log32＋lg12－lg5的结果是________．解析原式＝2－lg2－lg5＝2－1＝1.答案1新知探究题型探究感悟提升5．计算：(1)3log72－log79＋2log7322；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(3)logana＋loga1an＋loga1na.新知探究题型探究感悟提升解(1)原式＝log78－log79＋log798＝log78－log79＋log79－log78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.(3)原式＝1n＋(－n)＋(－1n)＝－n.新知探究题型探究感悟提升课堂小结1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．