函数的凹凸性在不等式证明中的应用

学年论文题目凹凸函数及其在证明不等式中的应用学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学级别10级姓名洪玉茹学号101301040摘要首先给出了凸函数的定义，．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．关键词凸函数，凸函数判定定理Jensen不等式。下面我们主要研究凸函数，凹函数由读者自行探索。一、凸函数的等价定义定义1若函数()fx对于区间(,)ab内的任意12,xx以及(0,1)，恒有1212(1)()(1)()fxxfxfx，则称()fx为区间(,)ab上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()yfx上任意两点1122(,()),(,())xfxxfx间的线总在曲线之上．定义2若函数()fx在区间(,)ab内连续，对于区间(,)ab内的任意12,xx，恒有12121()()()22xxffxfx，则称()fx为区间(,)ab上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()yfx上任意两点1122(,()),(,())xfxxfx间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．定义3若函数()fx在区间(,)ab内可微，且对于区间(,)ab内的任意x及0x，恒有000()()()()fxfxfxxx，则称()fx为区间(,)ab上的凸函数．定义4设()fx在区间I上有定义,()fx在区间I称为是凸函数当且仅当：1,2,...,nxxxI,有1212......()()......().nnxxxfxfxfxfnn则称该函数为凸函数。二、判定定理用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的．但用该判定定理来判断一个光滑函数是否为凸函数，则是相当简便的．下面我们介绍该判定定理。判定定理：设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸函数的充要条件是()0fx，xI．证明：对于区间,ab内的任意12,xx（不妨设12xx）以及0,1，令12xxx，则有1122211,xxxxxxxx，由泰勒公式，得111fxfxfxx及222fxfxfxx，其中1122xxx，于是12122121111fxfxfxxxxff再进一步由21ff，所以121211fxfxfxx即121211fxxfxfx。所以我们能用判定定理判断函数的凹凸性。定理：（Jensen不等式）若()fx为[a,b]上的凸函数，则[,]ixab,0(1,2,...,),iin11,nii，有11()()nniiiiiifxfx.证明应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k时命题成立,则12,,...,[,]kxxxab与10,1,2,...,,1niiiik都有11()()kkiiiiiifxfx现设121,,...,,[,]kkxxxxab及0i（i=1,2,…k+1）,111kii.令1,1iiki=1,2,…,k,则11kii.由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1kiikiiikkkikxfxfx1111(1)()kkiikkixfx1111(1)()()kkiikkifxfx=11111(1)()()1kikikkikfxfx=11()kiiifx即对任何正整数n(n2),上述不等式成立.推论：设()fx在区间I上有定义,()fx在区间I为是凸函数，则1,2,...,nxxxI,有1212......()()......().nnxxxfxfxfxfnn。三、凸函数在不等式证明中的应用由上述的Jensen不等式，在实际中我们可以应用Jensen不等式，常常先用导数来肯定函数的凹凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式．在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凹凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙．Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，但是对于实际给出的题目，我们往往要先构造出凹凸函数，才能应用Jensen不等式证明我们所要证明的不等式。举个我们熟悉的例子：在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法．其实这些不等式可在凸函数框架下统一证明．例1设0,1,2,...,iain，证明：121212......111...nnnnaaanaaanaaa证明设()ln,(0,)fxxx，有01)(2''xxf，从而，函数()lnfxx在(0,)是严格凸函数，取121(0,),,1,2,...,,...1iiinxaqinqqqn有1212lnlnlnln(...)...nnaaaaaannnnnn或nnnnnnnaaaaaanaaa...ln)ln...ln(ln...ln211121121即1212......nnnaaaaaan取1211(0,),,1,2,...,,...1iinixqinqqqan同样方法，有1212...111...nnnnaaaaaa于是，nN，有121212......111...nnnnaaanaaanaaa例2证明12,,...,,1nxxxRp有11212......()ppppnnxxxxxxnn上式称为算术平均不大于(1)pp次平均，特别的，当2p，得到算术平均值不大于平方平均值。证明考察函数()(1)pfxxp由于有''2()(1)0,0pfxppxx所以()(1)pfxxp为凸函数，从而12121,,...,,,,...,(0,1),1nnniixxxR有11221122(...)...ppppnnnnxxxxxx在上式中，令121...nn即得11212......()ppppnnxxxxxxnn.根据上述的我们常用的不等式的证明过程我们发现要运用凹凸函数证明不等式，首先要构造出凹凸函数，这是运用Jensen不等式的首要前提。下面我们再举出一些凹凸函数在不等式证明当中的应用。例3在ABC中，求证33sinsinsin2ABC．证明考虑函数sin0yxx，因为sin00yxx，所以sinyx在0,内是上凸函数，由上凸函数的性质有sinsinsinsin33ABCABC，由于ABC．故33sinsinsin2ABC．例4设(0,)2x，证明：1cos21cos2(sin)(cos)2xxxx证明先将原不等式化为222sin2cos(sin)(cos)2xxxx因为()xfxx为(0,)上的凸函数，故当0,0ab时，有()()()22abfafbf令22sin,cosaxbx则1222sincos112()()()()22222abxxfff而222sin2cos()()(sin)(cos)22xxfafbxx所以222sin2cos(sin)(cos)2xxxx这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数()xfxx巧妙地令22sin,cosaxbx，便可很方便的证得.例5设12,,,naaa和12,,,nqqq是两组正数，11niq.证明1111nqqnnnaqaqaa.证明要证原不等式即要证明1111ln...lnln(...)nnnnqaqaqaqa.令()lnfxx(0)x,则由于21()0fxx，所以f为凹函数，由Jensen不等式111122(...)()()...()nnnnfqaqaqfaqfaqfa即得所证。结束语通过研究凸函数的几种定义，凹凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．通过例题展示了凹凸函数在不等式证明中的应用．凹凸函数广泛的应用在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凹凸函数证明不等式，关键是寻找合适的函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的．参考文献：[1]侯风波．高等数学[M]．科学出版社，2005，6．[2]华东师范大学数学系．数学分析[M]．高等教育出版社，1991，3．[3]花树忠．凸函数的三种典型定义及其间的等价关系[J]．邯郸职业技术学院学报．2002(1)：52-54．[4]李荣春．利用凸函数证明不等式[J]．宁德师专学报．1998，10(1)．