高等数学作业册答案

1高等数学作业册参考答案一、函数与极限1.1)1()1(2222xx；22)1(11x2.10x3.31x；xysin21))2,2((x4.35.22x6.)1ln(112x7.38.该数列极限不存在9.110.xx63211.2；；不存在12.略二、极限的运算1.（1）0（2）a2（3）32（4）1（5）202（6）21（7）（8）02.0,13.34.1（题目改成：)21(lim222nnnnnnnn）5.证明略，26.(1)52(2)21(3)1(4)1(5)1(6)e(7)e(8)2(9)4e(10)21e(11)1(12)1三、无穷小的比较及连续性1.(1)32(2)2(3)25(4)0(5)9(6)1612.33.Rcba,1,04.125.(1)2x为可去间断点，令1)2(f则该点变为连续点；3x为无穷间断点（2）0x为可去间断点，令1)0(f则变为连续点；...)2,1(kkx为无穷2间断点；...)2,1,0(2kkx为可去间断点，令0)2(kf则变为连续点；（3）0x为可去间断点，令1)0(f变为连续点（4）1x为跳跃间断点；（5）0x为可去间断点，令1)0(f则变为连续点6.(1)2k(2)(a)0;0(b)1(3)1,0ba(4)1x为跳跃间断点四、导数的概念及运算1.已知Axf)(0(1)A(2)A2(2)2A2.(1)3(2)23.64.(1)2)1(f，)1(f，所以分段点处不可导（2）1k时分段点处可导且导数值为0，1k时不可导5.（1）4（2）)1,1(M6.1xy；1xy7.xy或25xy8.-99！9.2,2,1cba10.函数在分段点处连续且可导，0,20,121arctan)(422xxxxxxf五、导数的运算1.(1)bacx2(2)8187x(3))2ln()2(eex(4)2sincosxxxx(5)2224)ln3(32)49(lnxxxxxxxx(6)xxxxarctan21222.(1)3ln33(2)42ln24.(1))sin()21(2xxx(2)22xxe(3)221xx(4)22sin2xx(5)221xa(6)22xax3(7))2sin222cos(2xxex(8)xsec(9)xxx12)1(12(10)))1(1()1arctan()1arctan(ln42222xxxx(11)))31ln(sin()3162(2222xexxexx5.(1))()(xxxxeefee(2)232222))(1()()(2xfxfxxf6.x87.xxlncos1六、导数的运算与微分1（1）)1212189(2453xxxxex（2）3222)(xaa（3）212cot2xxxarc（4）)cossin2(ln22ln2cosxxx2（1）2ln23x（2）6304nnxn)1()!1()1(15236（1）xyeyysincos（2）xy(3)xy(4))lnln(xxyyyxxy(5)yxyx(6)324yab(7))sin(sin)sin(cosyxxyxxy7(1))sinln(cossinxxxxxx4(2))41312111()4)(3()2)(1(414xxxxxxxx(3)222ln2)2ln2ln2(2xxxxxxxx(4)12)1(lnxxxxx8（1）2t（2）t（3）349证明略10（1）dxxxxx)secsincos(2（2）dx32（3）dxe211(1)01.04(2)2713七、中值定理1.(1)满足；（2）不满足；（3）不满足2.23.314.有2个实根5.题目改为).1(412arccos21arctan2xxxx证明略6.有1个实根7.略8.略9.提示：)()(xfexFx应用罗尔定理10.略八、洛必达法则1.252.533.14.15.06.7.18.19.2110.011.3112.113.1e14.（.])1([lim110xxxex）21e515.29,3ba九、泰勒公式1.32)1(3)1(7)1(42xxx2.32453091xxx3.)(31133xoxx4.)()!1(1!2132nnxoxnxxx5.))1(()1()1(122xoxx6.使0)()(nf，证明略7.略8.略十、函数的单调性1.]2,0(上单减；),2[上单增2.单增区间]1,0[；单减区间]2,1[3.单增区间),1[],0,(；单减区间]1,0[4.1个实根5.略6.略7.略8.单增十一、曲线的凹凸性1.凹区间),21[],21,(；凸区间]21,21[2.凹区间]1,1[；凸区间),1[],1,(；拐点)2ln,1(),2ln,1(3.拐点),21(21arctane4.3,1ba5.acb326.略7.水平渐近线1y；无铅直渐近线8.水平渐近线0y；铅直渐近线1,3xx十二、函数的极值与最大最小值1.极大值17)1(y；极小值47)3(y2.极大值2)1(y；极小值2)1(y3.2a4.4,421xx5.(1)1)1(nnn;(2)e16.xxxy9323;327.1:28.5;116十三、函数图形的描绘1.极小值517)2(y；拐点)2,1(),56,1(2.单减区间),1[3.略4.1个交点5.略十五、不定积分概念、性质1.21x2.Cx35593.1313xx4.Cxxxarctan3135.Cexx3ln136.Cxxtan7.Cx2ln218.Cx8151589.Cxcot2110.Cxxsectan11.Cx2sin112.Cxxcottan13.1)(2xxf十六、1.CbaxFa)(12.Cxx2213.CxF)(ln4.Cx)38ln(9135.Cx342)1(836.Cxx881ln817.Cxx3sin31sin8.Cx23)2(ln329.Cxxln110.Cxex)1ln(11.Cx10ln210arccos212.Cx22))11(ln(21十七、不定积分的第二换元法1.Cxx))11ln(1(22.Cx1arccos3.Cxx)21ln(24.Cxx215.Cxxx)1(arcsin2126.Cxx1ln6677.Cxx)1arctan1(28.Cxxxxarcsin1129.Cxex)11ln(210.Cx2)(arctan十八、不定积分分部积分法1.Cxxex)22(22.Cxxx3391ln313.Cxfxfx)()(4.Cxx)1ln(21ln25.Cxxex)cos(sin216.Cxxxxxsin2cos2sin27.Cxxxxx2ln2ln28.Cxxx21arcsin9.Cxex)1(10.Cxxxcot21sin2211.Cxxxx)1ln(2121)1ln(2112.Cxxxx21arcsin13.Cxxxex)12(214.Cxextan15.Cxxxarctan)1(16.Ceexxx2222十九、有理函数的积分1.Cxx2)1(21112.Cxx1ln2ln33.Cxx1ln211124.Cxxarctan21ln5.Cx3tan2arctan3215.Cx2tan1ln7.Cxxxxxx11arctan21111ln8.Cxx311239.Cxx2)1(211110.Cxxxx2cos2cosln1211cos1cosln618二十、定积分的概念、性质1、331()3ba2、ln23、12II4、2I5、12422eIe6、137、略二十一、微积分基本公式1、02、2sinx3、24、245、1x6、32ln227、2(1)e8、29、1410、-ln211、83121ee二十二、定积分换元法1、02、433、24、245、166、2ln2-17、416a8、2(2)9、1410、2(31)11、2ln1ee12、1ln28413、121e14、11ln(1)e二十三、定积分分部积分法1、112e2、321()92e3、124、1425、21(1)2e6、3647、2e8、12(1)e9、1310、112e二十四、反常积分1、发散2、23、1ln324、285、16、发散7、-18、1ln229、110、211、2二十五、平面图形的面积1、3ln222、12ee3、3234、2a5、23a6、4267、（1，1）8、529、1,2,0二十六、体积1、12864,752、16153、3104、464,3155、6436、32224()3Ra7、438、2,9二十七、平面曲线的弧长、平均值91、214e2、42333、6a4、22a5、21(1)aaea6、35ln2127、8a8、212e9、23二十八、物理应用1、0.294J2、800ln2J3、1211()mgRR4、216aH5、443rg6、222211,()GmlGmaaalal7、57697.5KJ三十、微分方程的概念1、（1）2yx；（2）20yyx2、是3、20xyy4、120;1CC5、221()[ln(1)1]2xfxx6、2xyyye三十一可分离变量的微分方程1、2yxC2、2xye3、(1)yxexeC4、xyCxe5、2225yx6、3Cyx7、221xxyCe8、221(1)yCx9、sinlnyxx10三十二、一阶线性方程，齐次方程1、32431xCyx2、(1)xyxee3、3213xyx4、cosxyx5、xeyx6、同57、47yxCy83232xxyee三十一、可降阶的高阶方程1、12(2)xyxeCxC2、12CxyCe3、22yxx4、21arcsin()xyCeC5、12lnyCxC6、ln2xxeey注：原题改为求1)'(''2yy满足(0)0,'(0)0yy的特解。7、232231111111()()22axaaayeexexeaaaaaaa三十四、二阶常系数线性齐次方程1、312xxyCeCe2、12(cos2sin2)xyeCxCx3、212()xyCCxe114、212(cos5sin5)xyeCxCx5、2sin3xyex6、346xxyee7、1234()xyCCxCCxe8、1三十五、二阶常系数线性非齐次微分方程1、2121xxyCeCex2、12cossin21yCxCxx3、2121()69xxxxyCeCexe4、23312()(1)23xxxxyCCxee5、122cos2sin2co