高一数学6月五科联赛试题(含解析)

-1-高一数学【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。一.选择题:本大题共10小题，每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.1、数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【知识点】数列的概念及简单表示法．【答案解析】D解析：解：数列2，5，8，11，…，组成以2为首项，3为公差的等差数列，通项为an=3n﹣1，令3n﹣1=23，可得n=8．故答案选：D．【思路点拨】求出数列的通项公式，即可得到结论．2、已知ABC中4,43,30abA，则B等于A、60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【知识点】正弦定理.【答案解析】B解析：解：由正弦定理可知absinAsinB143bsinA32sinBa42∵0＜B＜180°∴B=60°或120°故答案选B【思路点拨】利用正弦定理把30,34,4Aba代入即可求得sinB的值，进而求得B．3、在ABC中，若sin:sin:sin3:4:5ABC，则Acos的值为A、35B、45C、0D、1【知识点】正弦定理；解直角三角形.【答案解析】B解析：解：在ABC中，若sin:sin:sin3:4:5ABC，所以a：b：c=3：4：5，因为222abc，所以ABC是直角三角形，Acos=45.故答案选B.【思路点拨】由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值．4、已知数列{}na中，21a，*11()2nnaanN，则101a的值为A．50B．51C．52D．53-2-【知识点】等差数列的定义；等差数列的通项公式.【答案解析】C解析：解：1111=22nnnnaaaa,即数列{}na是以2为首项，12为公差的等差数列，1011=100=250=52aad.故答案选C.【思路点拨】先判断出数列{}na是等差数列，然后利用通项公式求101a即可.5、若互不等的实数,,abc成等差数列，,,cab成等比数列，且310abc，则aA.4B.2C.2D.4【知识点】等差数列；等比数列.【答案解析】A解析：解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b﹣d，c=b+d，由题设得，，解方程组得，或，∵d≠0，∴b=2，d=6，∴a=b﹣d=﹣4，故答案选A．【思路点拨】因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b﹣d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．6、等差数列{}na的通项公式21nan，设数列11{}nnaa，其前n项和为nS，则nS等于A.221nnB.21nnC.21nnD．以上都不对【知识点】等差数列的通项公式;裂项相消法.【答案解析】B解析：解：21,nan111111212122121nnaannnn,n123111111=.....1....23352121nSaaaann111221n=21nn，故答案选B．【思路点拨】先根据等差数列{}na的通项表示出11nnaa，然后利用裂项相消法求出nS.7、在ABC中的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若60B,,abc且成等比数列，则ABC的形状为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不确定【知识点】三角形的形状判断；等比数列的性质；余弦定理.【答案解析】C解析：解：由a,b,c成等比数列得2bac，代入余弦定理求得-3-22acacac，即20ac（），因此a=c，从而A=C，又因为60B，所以ABC是等边三角形，故答案选C.【思路点拨】先根据a,b,c成等比数列得2bac，，进而代入余弦定理求得22acacac，整理求得a=c，判断出A=C，最后判断三角形的形状．【典型总结】本题主要考查了等比数列的性质，三角形形状的判断，余弦定理的应用．三角形问题与数列，函数，不等式的综合题，是考试中常涉及的问题，注重了对学生的双基能力的考查．8、等比数列{}na的前m项和为4,前2m项和为12,则它的前3m项和是A.28B.48C.36D.52【知识点】等比数列的性质．【答案解析】A解析：解：∵{}na为等比数列，∴232mmmmmSSSSS，，成等比数列，∵等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，∴4，8，312mS成等比数列，∴4（312mS）=28，解得328mS．故答案选：A．【思路点拨】利用等比数列的性质，232mmmmmSSSSS，，成等比数列进行求解．9、在RtABC中，D为BC的中点，且AB6AC8，，则ADBC的值为A、28B、28C、14D、14【知识点】平面向量数量积的运算．【答案解析】D解析：解：由题意可得221122ADBCABACACABACAB22186142,故答案选D【思路点拨】先把ADBC转化为2212ACAB，代入已知条件即可.10、设等差数列na满足2222366345sincossincos1sin()aaaaaa，公差(1,0)d，当且仅当9n时，数列na的前n项和nS取得最大值，求该数列首项1a的取值范围A74(,)63B74,63C43(,)32D43,32【知识点】等差数列的通项公式．-4-【答案解析】C解析：解：由2222366345sincossincos1sin()aaaaaa得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，∴sin（3d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），则3d=，d=﹣．由=．对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，∴，解得：．∴首项a1的取值范围是．故答案选：C．【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【典型总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力，是中档题．二.填空题:共5小题,每小题3分,共15分,把答案填在答题卡的相应位置.11.已知向量(4,)ax，(2,4)b，若ab，则x＝；【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【答案解析】2解析：解：1212(4,)(2,4)0xabxybayaxb，，，＝＝，即840,x解得x2.故答案为2.【思路点拨】根据ab⇔12120xxabyy＝＝，把两个向量的坐标代入求解．-5-12.已知等比数列{}na的公比为正数，且3963aaa＝，则6a＝；【知识点】等比数列的性质．【答案解析】3解析：解：在等比数列中，由等比数列的性质可得2396aaa＝，而3963aaa＝，所以266=3aa，则603a或，又因为等比数列{}na的公比为正数，所以60a，则6=3a.故答案为3.【思路点拨】根据等比数列的性质即可得到结论．13.若数列{na}的前n项和23nSnn，则456123aaaaaa的值为；【知识点】数列递推式．【答案解析】2解析：解：∵数列{na}的前n项和23nSnn，∴123aaa=3S233318，4566336aaaSS，∴45612336218aaaaaa,故答案为2.【思路点拨】根据数列{na}的前n项和23nSnn，利用递推式直接进行计算即可得到结论．14．数列{}na中，12a，*132()nnaanN，则{}na的通项公式为；【知识点】等比数列的通项公式；构造新数列.【答案解析】31n解析：解：1132,13(1)nnnnaaaa，所以可得数列1na是等比数列，首项113,a公比为3；所以1111(1)3333,nnnnaa31nna，故答案为：31nna.【思路点拨】由已知条件132nnaa构造出新数列1na是等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出结果即可.15．在ABC中的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，重心为G，若2330aGAbGBcGC；则cosB；【知识点】余弦定理；向量在几何中的应用．【答案解析】112解析：解：由2330aGAbGBcGC可以得到2333()aGAbGBcGCcGAGB即23330acGAbcGB，又因为-6-,GAGB不共线，所以23ac=0,33bc=0,即233,abc所以33,c23bba，22222231143cos21233223bbbacbBacbb，故答案为112.【思路点拨】首先变形已知条件，找出a,b,c满足的关系式，最后借助于余弦定理求出结果.三、解答题(本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本小题满分8分)在等比数列{}na中，已知142,16aa．（1）求数列{}na的通项公式.（2）若35,aa分别为等差数列{}nb的第3项和第5项，试求数列{}nb的前错误!未找到引用源。项和nS错误!未找到引用源。.【知识点】等差数列与等比数列的综合．【答案解析】（1）2nna（2）解析：解：（1）na为等比数列且341=8;aqa12,222nnnqa（2）3533552;2,abab又因为{}nb为等差数列53224;12bbdd，13216;aad所以2n(1)16126222nnSnnn.【思路点拨】（1）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可．（2）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列{bn}是等差数列求出首项与公差．再代入求出通项公式及前n项和Sn．17.(本小题满分8分)设向量(3sin,sin),(cos,sin),0,2axxbxxx（1）若||||ab，求x的值（2）设函数()fxab，求()fx的取值范围【知识点】向量的模的运算；向量的数量积公式；三角函数的定义域与值域.【答案解析】（1）6x（2）3()0,2fx解析：解：（1）||||,ab2222(3sin)(sin)cossin,0,2xxxxx，-7-1sin,26x故x=.（2）2311()=3sincossinsin2cos2222fxabxxxxx15sin(2),0,;2,;622666xxx又故3()0,2fx【思路点拨】（1）利用向量的模相等得到1sin2x可解x;（2）先用向量的数量积公式求出函数()fx，再求值域即可.18.(本小题满分8分)已知ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3sincoscaCcA，(1)求角A(2)若a=23,ABC的面积为3错误!未找到引用源。,求ABC的周长.【知识点】余弦定理；正弦定理.【答案解析】（1）（2）解析：解：（1）由c=asinC+ccosA，利用正弦定理化简得：sinC=