高中数学-基本不等式课件

第2课时基本不等式【课标要求】1．理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2．能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题．【核心扫描】1．基本不等式常用来考查函数最值等问题，要注意不等式成立的前提条件．(重点)2．实际应用中的最值问题通常转化为y＝ax＋bx型解决．(难点)1．定理1(重要不等式)：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当时，等号成立．自学导引a＝b2．定理2(基本不等式)：如果a，b是，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．我们常把叫做正数a，b的算术平均，把叫做正数a，b的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值．正数a＋b2ab试一试：证明不等式：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)．提示(1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.(2)∵a＋b2－ab＝a＋b－2ab2＝a－b22≥0(a＞0，b＞0)，∴a＋b2≥ab.3．关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x≥0，y≥0，且xy＝p(定值)，则当x＝y时，x＋y有最小值.(2)若x≥0，y≥0，且x＋y＝s(定值)，则当x＝y时，xy有最大值.2ps24想一想：利用基本不等式a＋b2≥ab求最值的条件是什么？提示“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．基础自测1．下列不等式中，正确的是()．A．若a，b∈R，则a＋b2≥abB．若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2≥2C．若x∈R，则x2＋1＋1x2＋1≥2D．若a，b＞0，则a＋b2≥ab答案C2．设0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，下列各式中值最大的是()A．a2＋b2B．a＋bC．2abD．2ab答案B3．下列不等式不成立的是()．A．x＋1x≥2B．x2＋1x2≥2C．x＜0，x＋1x≤－2D．x＞0，x＋1x≥2答案A4．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是________．答案62－3题型一利用基本不等式证明不等式【例1】已知a，b，c为正实数，求证：(1)a＋bb＋cc＋aabc≥8.(2)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.[思维启迪]解答本题可先对a＋b，b＋c，c＋a分别使用均值不等式，再把它们相乘或相加得到．证明(1)∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0，由上面三式相乘可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8ab·bc·ca＝8abc.即a＋bb＋cc＋aabc≥8.(2)∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，由上面三式相加可得(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca.即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.规律方法(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备均值不等式的结构和条件，然后合理地选择均值不等式或其变形形式进行证明．(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话要搞清楚．【变式1】若a、b∈R＋，且a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.证明法一1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋2ab≥1＋2a＋b22＝9.法二1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥9.题型二利用基本不等式求最值【例2】已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[思维启迪]解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用基本不等式求得和的最小值．解法一∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.法二由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知x＞1，y＞9，而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2x－1y－9＋10＝16.所以当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.规律方法在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．【变式2】已知x0，y0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的最大值.解由x＋2y＋xy＝30，得y＝30－x2＋x(0x30)，xy＝30x－x22＋x＝－2＋x2＋342＋x－642＋x＝34－x＋2＋64x＋2，注意到(x＋2)＋64x＋2≥2x＋2·64x＋2＝16，可得xy≤18，当且仅当x＋2＝64x＋2，即x＝6时等号成立．代入x＋2y＋xy＝30中可得y＝3.故xy的最大值为18.题型三基本不等式的实际应用【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片．甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片．哪家公司平均成本较低？请说明理由．[思维启迪]先建立数学模型，再用基本不等式求解．解设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a元和b元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10000a＋b20000＝a＋b2(元/片)；乙公司两次购芯片的平均价格为2000010000a＋10000b＝21a＋1b(元/片)．∵a0，b0且a≠b，∴a＋b2ab，1a＋1b21ab＝2ab，∴21a＋1bab，∴a＋b221a＋1b，∴乙公司的平均成本比较低．规律方法应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．【变式3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．试问：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S＝xy，由题意得：40x＋2×45y＋20xy＝3200.(1)由基本不等式，得3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，∴S＋6S≤160，即(S＋16)(S－10)≤0.∵S＋160，∴S－10≤0，从而S≤100.∴S的最大允许值是100m2.(2)S取最大值的条件是40x＝90y，又xy＝100，由此解得x＝15.∴正面铁栅的长度应设计为15米．误区警示忽视基本不等式应用条件致误【示例】函数y＝x＋1x－1(x≠1)的值域是________．[错解]由y＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3，得出y∈[3，＋∞)．答案[3，＋∞)本题易出现的错误有两个方面：一是不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值；二是利用基本不等式求解最值时，忽视因式的取值范围，直接套用基本不等式求最值．[正解]当x＞1时，y＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1；即x＝2时等号成立；当x＜1时，－y＝－x＋11－x＝1－x＋11－x－1≥21－x·11－x－1＝1即y≤－1，当且仅当1－x＝11－x，即x＝0时等号成立．∴原函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案(－∞，－1]∪[3，＋∞)利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.