2.5等比数列的前n项和(一)

2.5等比数列的前n项和(一)新课讲授问题:从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.分共293222221.2,,2,2,2,12932求等比数列的前30项的和。(二)问题探究问题1：这个故事中,到底谁吃亏了？问题2：这个月，富人一共要借给穷人多少钱？问题3：这个月，穷人一共要给富人多少钱？1+2+3+4+……+30=465万元问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？现在我们一起来寻找答案。米粒的总数为:29323022221S问题5：如何求出这个和？用计算器怎么样？问题7：怎样求等比数列的前n项和公式？问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接用公式时间很长，太麻烦了。(二)问题探究问题8：能否类比等差数列前n项和公式的求法？根据①式，如何构造另一个式子②？②把这两个式子怎么样？nnnaaaaS121等差数列求和公式的推导121aaaaSnnn①①+②得：)()()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn)(21nnaanS2)(1nnaanS倒序相加nnSna项和为为等差数列，其前数列}{(三)方法回顾的目的：出现相等的项，从而化简等比数列的前n项和公式解析1：找个具体的等比数列来检验问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。nnnaaaaS121项和公式前为等比数列，请推导其已知数列nan}{168421nS124816nS)116()28()44()82()161(2nS171081017?(四)类比探究每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!)()(121nnaaaa)()()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn所以解析2：一般地，对于等比数列，因为：问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。nnnaaaaS121项和公式前为等比数列，请推导其已知数列nan}{?等比数列的前n项和公式(四)类比探究)(1naan无法化简11212111nnnqaqaqaqaaS问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。nnnaaaaS121项和公式前为等比数列，请推导其已知数列nan}{?反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。问题2：求和的根本目的是什么？答：求和的根本目的是消项。消项后就可化简。改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示。①等比数列的前n项和公式(四)类比探究11212111nnnqaqaqaqaaS项和公式前为等比数列，请推导其已知数列nan}{①问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子②，而要达到消项的目的，就须使两式具有＿＿＿＿问题3：观察求和的式子①，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？后项=前项×公比相同的项问题5：如何构造式子②？将式子①的两边都乘以qnnnqaqaqaqaqaqS11131211②问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？相减等比数列的前n项和公式(四)类比探究nnaaaS21①-②得：nnqaaSq111问题7：要求出，是否可以把上式两边同除以？nSq1当时，除以得：q11,01qq即当时，1,01qq即?nS111aaa11212111nnnqaqaqaqaaS①nnnqaqaqaqaqaqS11131211②1na注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！等比数列的前n项和公式(四)类比探究当q=1时，1naSn项和为的前设等比数列nan}{当q≠1时，nnaaaaS...321则探究成果：①等比数列的前n项和公式(四)类比探究等差数列方法小结：课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？联想我们所学过的知识，即类比＿＿＿＿＿＿＿＿，挖掘其方法的＿＿＿（求和的根本目的是＿＿＿），结合等比数列自身的＿＿＿来构造式子②，再把两式＿＿＿，这种求和方法叫做＿＿＿＿＿＿求和方法本质消项特征相减错位相减(四)类比探究问题1：还有其它的推导方法吗？11212111nnnqaqaqaqaaS①问题2：根据①式的特点，能否建立一个关于的方程？若能，就可从方程中解出nSnS问题3：①式的左边是,要建立一个关于的方程,那就要将①式的右边也用含的式子来表示。nSnS问题4：观察①式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式，是否可考虑将之提出来？qnS(五)方程探究等比数列的前n项和公式nnnaaaaaS1321①问题5：括号里面的，与①式右边对照，少了哪一项？)(1211naaaqa问题6：括号里面的，怎样用含的式子表示？nS)(1qanS从这个方程解出nS11nnqaS问题7：这样就得到了一个什么方程？问题8：解方程时要注意对＿＿＿＿＿＿进行＿＿。一元一次方程未知量的系数讨论(五)方程探究等比数列的前n项和公式nnqaaSq111移项，得：当q=1时，1naSn当q≠1时，①11212111nnnqaqaqaqaaS①)(2131111nnqaqaqaaqa)(111nnqaSqanS(五)方程探究等比数列的前n项和公式(建立方程)用表示注意：方程法是一种重要的数学思想方法！一部分项提公因式过程小结：解方程nS根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式＿＿后，可将其用含＿＿＿的式子表示出来，从而建立关于＿＿＿的方程，解此方程即可。课后思考：对和式①的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？nSnSq(五)方程探究(六)熟悉理解等比数列前n项和公式当q≠1时，当q＝1时，①②思考1：根据公式①，要求一个等比数列的前n项和，一般要先求出哪些量？思考2：能否将Sn和用a1,q,an来表示？思考3：什么时候用公式①,什么时候用公式②?例1.求下列等比数列前8项的和．.0,2431,27)2(91qaa81,41,21)1((七)公式的应用思考：能否用公式②求？8S答：可以。但要先求出公比和8aq解题思路：求出公比后用公式①求8Sq变式1判断正误：aaaaann1)1(1112反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项、公比、项数n21)21(1)2(84211nn21)21(12222132nn①②③(七)公式的应用×××①在等比数列中，已知中的三个，可求另外两个。变式2填空：nnSanqa,,,,1反思总结:②如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。qn第1题326第2题80.50.5第3题-1.5496第4题1.534.5第5题-2-96-661anSna(七)公式的应用96189515.5-476.511.5-65知三求二例3某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？分析：第1年产量为5第2年产量为5×(1+10%)=5×1.1第3年产量为5×(1+10%)×(1+10%)=5×1.12……第n年产量为11.15n则n年内的总产量为：121.151.151.155n解：由题意，从第1年起，每年的产量组成一个等比数列,na其中15,110%1.1,30,naqS∴511.1301.1.1n即1.11.6.n两边取对数，得lg1.1lg1.6n∴lg1.60.205lg1.10.041n（年）答：约5年内可以使总产量达到30万吨.29323022221S(八)问题解决问题1：这个故事中，到底谁吃亏了？问题2：这个月，富人一共要给穷人多少钱？问题3：这个月，穷人一共要给富人多少钱？1+2+3+……+30=465万元穷人吃亏穷人给的总数为:分930301007.11221)21(1万元1070启示：这个故事告诉我们(八)问题解决(九)课堂小结1.一个公式：2.两种方法：3.三种数学思想：这节课我们主要学到了什么？错位相减解方程类比方程分类讨论1q1q2.课外思考题：(十)作业布置qaaaaaann12312(2)请从等比数列定义的两种形式出发，分别用不同的方法推导出等比数列前n项和的公式:形式①形式②qaaqaaqaaqaann1342312,,,,(1)求数列的前n项和,7,5,3,132aaa1.必做题：P61——1、2、3