3.3.1函数的单调性与导数

1．理解函数单调性和导数的关系；2．会利用导数判断函数的单调性。学习重点和难点1．重点：函数单调性和导数的关系2．难点：函数单调性和导数的关系。学习目标判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。yx2(,0)(0,)33?yxxxyo2yx函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：图象是单调上升的.01y观察下列图象的单调区间,并求单调区间相应的导数.02xy02xy图象是单调下降的.在x∈(-∞,0)内图象是单调上升的.在x∈(0,+∞)内图象是单调上升的.)0(032时当xxy012xy012xy图象是单调下降的.在x∈(-∞,0)内图象是单调下降的.在x∈(0,+∞)内函数的单调性与其导函数正负的关系:当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果,则f(x)为增函数；如果,则f(x)为减函数。0)(xf0)(xf单调性导数的正负函数及图象(,0)在上递减(0,)在上递增xyoyfx()abxyoyfx()ab切线斜率的正负kxyo2()fxxab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减注意：应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)(1)函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。(2)函数y=x2－3x在[2，+∞)上为_____函数，在(－∞,1]上为______函数，在[1,2]上为____________________________________函数。基础训练：增增减既不是增函数,也不是减函数求函数的单调区间。变1：求函数的单调区间。3233yxx233yxx理解训练：'63yx解：11'0,'022yxyx令得令得233yxx1(,)2的单调递增区间为单调递减区间为1(,)2解：2'963(32)yxxxx2'003yxx令得或2'003yx令得3233yxx的单调递增区间为单调递减区间为2(0,)32(,0),(,)3变3：求函数的单调区间。1yx变2：求函数的单调区间。33xyex巩固提高：'01xye令得解:'33xye33(0,)xyex的单调递增区间为(,0)单调递减区间为0'010xeyex令得0x0e解:21'0,yx0,x但1(,0)(0,)yx的单调递减区间为，例2、已知导函数的下列信息：当1x4时，当x4,或x1时，当x=4,或x=1时，试画出函数f(x)图象的大致形状。)(xf0)(xf0)(xf0)(xf41xyo)(xfy解：由题意可知当1x4时，f(x)为增函数当x4,或x1时，f(x)为减函数当x=4,或x=1时，两点为“临界点”其图象的大致形状如图。例3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)0)(xf从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。xyoxxxf3)(3xyo132)(2xxxf(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1)0)(xf图象见右图。当0，即x1时，函数单调递增；)(xf当0，即x1时，函数单调递减；)(xfxyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-10)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减，见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)0)(xf当0，即时，函数单调递增；)(xf21712171xx或xyo图象见右图。当0，即时，函数单调递减；21712171x)(xf总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④求定义域1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？cossin335(,)(,2)(,)(2,3)22.2..2.yxxxABCDpppppppp函数在下面哪个区间内是增函数()(04年全国理)Bpp(,2)该函数在上为增函数。xxxxpp(,2)sin0,sin0,如图,当时，yxxxxx''cos(cos)'(sin)'解：xxxxxxcossinossincy'0即：xyopp2p3yxsinxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。通过这堂课的研究，你明确了，你的收获与感受是，你存在的疑惑之处有。(课本)P98A组1,2322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数A