二项式定理(通项公式)

-1-六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1．整数指数幂的概念奎屯王新敞新疆*)(Nnaaaaaann个)0(10aa*),0(1Nnaaann奎屯王新敞新疆2．运算性质：),(Znmaaanmnm，),()(Znmaamnnm，)()(Znbaabnnn3．注意①nmaa可看作nmaa∴nmaa=nmaa=nma奎屯王新敞新疆②nba)(可看作nnba∴nba)(=nnba=nnba奎屯王新敞新疆4、nmnmaa(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)奎屯王新敞新疆例题：例1求值：4332132)8116(,)41(,100,8.例2用分数指数幂的形式表示下列各式：1）aaaaaa,,3232(式中a＞0)奎屯王新敞新疆2)43aa3）aaa例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132bababa.))(2(88341nm例4计算下列各式：);0()1(322aaaa435)12525)(2(例5化简：)()(41412121yxyx例6已知x+x-1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121xxxx二、二项式知识回顾1.二项式定理0111()nnnknkknnnnnnabCaCabCabCb,以上展开式共n+1项，其中knC叫做二项式系数，1knkkknTCab叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)nnnkknkknnnnnnnabCaCabCabCb，1(1)kknkkknTCab01(1)nkknnnnnnxCCxCxCx①0111(21)(2)(2)(2)(2)1nnnknknnnnnxCxCxCxCx1110nnnknnnkaxaxaxaxa②-2-①式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012nnnnnCCC，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312nnnnnCCCC②式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2.二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即mnmnnCC.（2）二项式系数knC增减性与最大值：当12nk时，二项式系数是递增的；当12nk时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值.当n是奇数时，中间两项12nnC和12nnC相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an的性质：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn⑴a0+a1+a2+a3……+an=f(1)⑵a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1()1(ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1()1(ff三、经典例题1、“nba)(展开式例1．求4)13(xx的展开式；解：原式=4)13(xx=24)13(xx=])3()3()3()3([144342243144042CCCCCxxxxx=54112848122xxxx【练习1】求4)13(xx的展开式2.求展开式中的项例2.已知在331()2nxx的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.解：（1）通项为2333111()()22nrrnrrrrrrnnTCxxCx因为第6项为常数项，所以r=5时，有23nr=0，即n=10.（2）令1023r=2，得2r所以所求的系数为2210145()24C.（3）根据通项公式，由题意1023010,rZrrZ-3-令102()3rkkZ，则352kr，故k可以取2,0,2，即r可以取2，5，8.所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为22255882101010111(),(),()222CxCCx.【练习2】若41()2nxx展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知223()nxx的展开式的二项式系数和比(31)nx的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nxx的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）.解：由题意知，222992nn，所以232n，解得n=5.（1）(1)由二项式系数性质，101(2)xx的展开式中第6项的二项式系数最大.5556101(2)()8064TCxx.（2）设第1r项的系数的绝对值最大，110rrTC10(2)rx10102101()(1)2rrrrrCxx101111010101910102222rrrrrrrrCCCC得110101101022rrrrCCCC，即1122(1)10rrrr，解得81133r.,3rZr，故系数的绝对值最大的项是第4项，3744410215360TCxx.[练习3]已知*22()()nxnNx的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1xx（的展开式中，3x项的系数是；解：在展开式中，3x的来源有：①第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C；②第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C3x的系数应为：,1008)2()2(447667CC填1008。5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(xx的展开式中，常数项是；解：36323)1(])1([)21(xxxxxx，该式展开后常数项只有一项33336)1(xxC，即206、求中间项-4-例6求（103)1xx的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrrxxTC展开式的中间项为535510)1()(xxC即：65252x。当n为奇数时，nba)(的展开式的中间项是212121nnnnbaC和212121nnnnbaC；当n为偶数时，nba)(的展开式的中间项是222nnnnbaC。7、有理项例7103)1(xx的展开式中有理项共有项；解：341010310101)1()1()(rrrrrrrxxrTCC当9,6,3,0r时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；解：rrrrxTC)1(11111要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由此得5r，从而可知最小项的系数为462)1(5511C（2）一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为rT，设第k项系数最大，则有11kkkkTTTT又1182.rrrCT，那么有kkkkkkkkCCCC2.2.2.2.8118228118即)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8KKKKKKKkKKKK1922211解得43k，系数最大的项为第3项2537xT和第4项2747xT。（3）系数绝对值最大的项例10在（7)yx的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“nba)(”型转化为)(nba型来处理，故此答案为第4项4347yxC，和第5项5257yxC。9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为；-5-解：443322104)32(xaxaxaxaax令1x，有432104)32(aaaaa，令1x，有)()()32(314204aaaaa故原式=)]()).[((3142043210aaaaaaaaaa=44)32.()32(=1)1(4【练习1】若2004221020042004...)21(xxaxaax，则)(...)()(200402010aaaaaa；解：2004221020042004...)21(xxaxaax，令1x，有1...)21(20042102004aaaa令0x，有1)01(02004a故原式=020042102003)...(aaaaa=200420031【练习2】设0155666...)12(axaxaxax，则6210...aaaa；解：rrrrxTC)1()2(66165432106210...aaaaaaaaaaa=)()(5316420aaaaaaa=110利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(，故可以用二项式定理展开计算。解：6998.0=6)002.01(=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263CT，且第3项以后的绝对值都小于001.0，从第3项起，以后的项都可以忽略不计。6998.0=6)002.01()002.0(61=988.0012.01小结：由nnnnnnxxxxCCC...1)1(221，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，nxxx,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nxxn1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(xnnnxxn。四、课下训练1、92)21(xx展开式中9x的系数是；答案221