空间向量及其运算

1．空间共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量为共线向量或平行向量．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使.互相平行或重合a＝λb要点梳理空间向量及其运算(3)共线向量定理的推论①对于空间任一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使OP＝(1－t)OA＋tOB或OP＝xOA＋yOB(其中x＋y＝1)．②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足关系式.其中非零向量a叫直线l的方向向量OP＝OA＋ta2．空间共面向量(1)共面向量把的向量，叫做共面向量．(2)共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使.平行于同一平面p＝xa＋yb(3)推论空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使MP＝，或对空间任一定点O，有OP＝①，我们称①式为平面MAB的向量表示式．xMA＋yMBOM＋xMA＋yMB[思考探究]向量AB∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？提示：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况．因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内．3．空间向量基本定理(1)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使.p＝xa＋yb＋zc(2)推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存在唯一的有序实数组x，y，z，使OP＝.xOA＋yOB＋zOC4.空间向量的数量积及运算律1．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做．x轴，y轴，z轴统称．由坐标轴确定的平面叫做．原点坐标轴坐标平面空间直角坐标系、空间向量及其运算(2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的，y叫做点M的，z叫做点M的．横坐标竖坐标纵坐标2．空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b为非零向量)．a1b1＋a2b2＋a3b3(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝.若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则dAB＝|AB→|＝.a12＋a22＋a32a1b1＋a2b2＋a3b3a12＋a22＋a32b12＋b22＋b32(a1－b1)2＋(a2－b2)2＋(a3－b3)2题型一空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.探究1解（1）∵P是C1D1的中点，11111121CDADaPDDAAAAPBNABAANABCN11,)2(的中点是.2121bcacaABBC21ba.2121cbabaADAPAAAPMAMPAAM1121,)3(的中点是,2121)21(21cbabcaa11121AABCCCNCNC又ac21211AAAD)21()2121(1cacbaNCMP.232123cba用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.探究提高空间向量坐标及坐标运算（365p158页）例1设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·b以及a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件，使λa+μb与z轴垂直.解2a+3b=2×（3，5，-4）+3×（2，1，8）=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）.3a-2b=3×（3，5，-4）-2×（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）.a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=6+5-32=-21.（λa+μb）·（0，0，1）=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ）·（0，0，1）=-4λ+8μ=0，即λ=2μ，∴当λ，μ满足λ=2μ时，可使λa+μb与z轴垂直..2301387695021||||,cos,69812||,50)4(53222222babababa（365p158页）例1设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件，使λa+μb与z轴垂直.探究2(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD.(1)求证：面PAC⊥面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．题型二平行和垂直又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥面PAC，CD⊂面PCD，∴面PAC⊥面PCD.6分易得CD＝AC＝2，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.4分解：(1)证明：设PA＝1，由题意PA＝BC＝1，AD＝2.∵PA⊥面ABCD，∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.2分∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)，PD→＝(0,2，－1)．∵PE→∥PD→，∴y·(－1)－2(z－1)＝0①∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE→＝(－1，y－1，z)，∵CE∥面PAB.(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令P(0,0,1)，C(1,1,0),D(0,2,0)，∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥面PAB，此时E为PD的中点．12分∴CE→⊥AD→.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.代入①，得z＝12.（365p158页）例2如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．解：如图建系，D为坐标原点，设（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG，依题意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且∴，故PA//EG，而平面EDB，且平面EDB，∴PA//平面EDBaDC)2,2,0(),,0,0(),0,0,(aaEaPaA)0,2,2(aa)2,0,2(),,0,(aaEGaaPAEGPA2EGPA（2）证明；依题意得)0,,(aaB),,(aaaPB)2,2,0(aaDE又故022022aaDEPB∴DEPB由已知PBEF且PBEDEEF所以平面EFD奎屯王新敞新疆（365p156页）探究3：在棱长为1的正方体中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CG＝CD/4，H为C1G的中点，⑴求证：EF⊥B1C；⑵求EF与C1G所成角的余弦值；⑶求FH的长。xyzHGFEABCDA1B1C1D1解：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，由题意知E(0,0,1/2),F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),G(0,3/4,0),⑴).1,0,1(),21,21,21(1CBEFCBEF1即EF⊥B1C题型三夹角与距离xyzHGFEABCDA1B1C1D1⑵11(0,,1)4CG22211170()144CG由⑴知830)21(4321021,23)21()21()21(||1222GCEFEF1751||||,cos111GCEFGCEFGCEF故EF与C1G所成角的余弦值为1751⑶∵H为C1G的中点，∴H(0，7/8，1/2),又F(1/2，1/2，0),841)021()2187()210(||222FH即FH＝841