中考数学专题训练-旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】在ABC△中，ABAC，BAC（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，15060BCEABE，，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC，求的值．知识关联图真题演练专题3：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）1．等边三角形共顶点等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH为等边三角形HGFEDCBA例题精讲2．等腰直角三角形共顶点等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋2FC，EF＝DF＋2FC；（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE3．等腰三角形共顶点等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．连结BD，AE交于点F，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC平分∠BFE．4．相似三角形共顶点△ACB与△ECD中，ACBCECDC，∠ACB＝∠ECD．连结BD，AE交于点F，则：（1）△BCD∽△ACE；（2）∠AFB＝∠ACB．图1ABCDEFJI图2ABCDEGHFEDCBAGABCDEF进阶训练1.已知四边形和四边形都是正方形，且．（1）如图，连接、．求证：；（2）如图，如果正方形的边长为，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．2．四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，90BEF，BEEF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及ECGC的值；（2）将图1中的BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ABCDCEFGABCE1BGDGBGDE2ABCD2CEFGCCGBD∥BGBDBDECEFGACDGEFB图图ACDGEFB3.（1）如图1，ABC△和CDE△都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BEAD．（2）如图2，在BCD△中，120BCD，分别以BC、CD和BD为边在BCD△外部作等边ABC△、等边CDE△和等边BDF△，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①ADBECF；②BECADC；③60DPEEPCCPA；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PBPCPDBE．4．在平行四边形ABCD中，∠A＝∠DBC，过点D作DE＝DF，且∠EDF＝∠ABD，连结EF，EC，N、P分别为EC，BC的中点，连接诶NP．（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探索线段NP与MN的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立？写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．图1图2【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．5．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠EAC＝90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连结CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC＝15°，∠ACM＝60°，直线CM与AB交于G，BD＝622，其他条件不变，求线段AM的长．专题4：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等FEDCBAGFEDCBAABCDEFFEDCBAGABCDEFGABCDEABCDEF【例1】已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN，连结MC，NC，MN．猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．2.（1）如图1，点分别是正方形的边上的点，，连接，则之间的数量关系是：．连结，交于点，且满足，请证明这个等量关系；（2）在ABC△中，，点分别为边上的两点．①如图2，当，时，应满足的等量关系是__________________；EF、ABCDBCCD、45EAFEFEFBEFD、、EFBEFDBDAEAF、MN、MNBMDN、、222DNBMMNABACDE、BC60BAC30DAEBDDEEC、、ABCDEF图1BCDE图2ABCDE图3AMN3.如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°.（1）试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF＝BE＋FD.（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD．DF＝40（3－1）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据：2＝1.41，3＝1.73）4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°.若CD＝4，求△ABE的面积.5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，DE⊥BC于点E，且DE＝BC，点F在边AC上，连结BF交DE于点G，若∠DBF＝45°，DG＝275，BE＝3，求CF的长．图1FADCBE图2ABDCEF图3FCAEBD图1BADCEGFEDCBA6.如图，正方形ABCD的边长为a，Q为CD边上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝a；③△CNQ的周长为2a；④AB+BN＝BM，其中一定成立的是（）A．①④B．①②③C．①③④D．①②③④专题5：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型—90°）（全等型—120°）（全等型—任意角）OABCEDNOMABCEDOEDCBAOFEDCBAOEDCBA【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？【例1】四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．1.如图，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，90BACDAE，ABAC，ADAE．连接BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF．（1）如图1，求证：BDCE；（2）如图1，求证：AF是CFD的平分线；（3）如图2，当2AC，15BCE时，求CF的长.ABCDBDABDCBDACDCBAFEDCBA图1NM图2ABCDEFMN全能突破2.小辉遇到这样一个问题：如图1，在RtABC△中，90BAC＝，ABAC＝，点，E在边BC上，45DAE＝．若3BD＝，1CE＝，求DE的长．D小辉发现，将绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及45DAE＝，可证△FAE≌△DAE，得FEDE＝．解，可求得EF(即DE)的长．请回答：在图2中，FCE的度数是__________，DE的长为_______RtABC____．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，ABAD＝，180BD＋＝．EF，分别是边BCCD，上的点，且12EAFBAD＝．猜想线段BEEFFD，，之间的数量关系并说明理由．3.如图，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：;(2)如图在四边形中，，分别是边上的点，且，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3)如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．ABCDABCD90ABADBD，EF、BCCD、12EAF=BADEFBEFDABCD180ABADB+D，EF、BCCD、12EAFBADABCDABAD180BADCEF，BCCD，12EAFBADEFDCBAEFDCBAEFDCBA图1ABCDE图2FABCDE图3EFDABC4.小华遇到这样一个问题，如图1，ABC△中，ACB30º，65BCAC，，在ABC内部有一点P，连接PAPBPC、、，求PAPBPC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将APC绕点C顺时针旋转60º，得到EDC，连接PDBE、，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PAPBPC的最小值为________；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，ABC60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PAPBPC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PAPBPC值最小时PB的长．5在ABC△中，ABAC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且0180，连接AD，BD．（1）如图1，当100BAC，60时，CBD的大小为__________；（2）如图2，当100BAC，20时，求M的大小；（3）已知BAC的大小为m（60120m），若M的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．ACBP图1DEACBP图2DACB图3图1ABCD图