3.2圆的对称性(北师大版)解析

圆是一种美丽的图形，春秋战国时期，墨翟在其所著《墨经》一书中就曾明确指出：“圜，一中同长也。”毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中，最美的是球形；一切平面图形中最美的是圆形。”那么，圆到底美在哪里？九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(1)-----垂径定理3.2圆的对称性复习提问：1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形•圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的?•圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.3.2圆的对称性OACBNMD圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。OACBNMD或：任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。任意一条直径都是圆的对称轴（）看一看B.OCAEDO.CAEBDAE≠BEAE＝BE圆的相关概念•圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.•直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒AMB大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).ABCMD同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.ABABr1r2O等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.rOrO③AM=BM,垂径定理•AB是⊙O的一条弦.•你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?ABCDM└由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.题设结论垂径定理•如图,小亮的理由是:•连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧垂径定理三种语言•定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.•杨老师提示:•垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.EOABDCEABCDEOABDCOBAEEOABCEOCDAB在下列图形中，找出能利用垂径定理的图形例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E.ABO解：连结OA.过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米例题精讲方法总结：利用垂径定理解题，需要利用三角形AOE,如果有，直接用；如果没有，就需要作出相应三角形。请大家要牢记这一点！九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(2)----垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.②CD⊥AB,垂径定理的逆定理（推论）•AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.•你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小亮发现图中有:CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗OABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。CD你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理•如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及逆定理●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB⌒求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD（AC＝BC）求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.OCAEBDC以上都是垂径定理的推论（1）判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√按图填空：在⊙O中，（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则_______，_______，______；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；（4）若AC＝BC，MN为直径，则________，________，________．练习2⌒⌒挑战自我垂径定理的推论（2）•如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?•老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.已知：⊙O中弦AB∥CD.求证：AC＝BD⌒⌒.MCDABON讲解如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒圆的两条平行弦所夹的弧相等例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO讲解例3已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO垂径定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.想一想P补7EOABDC⑴d+h=r⑵222)2(adr已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E.⑴若半径R=2，AB=,求OE、DE的长.⑵若半径R=2，OE=1，求AB、DE的长.⑶由⑴、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？32CDABE例：平分已知弧AB已知：弧AB作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点。求作：弧AB的中点挑战自我画一画CDABEFG变式一：求弧AB的四等分点。mnCABE变式二：你能确定弧AB的圆心吗？mnDCABEmnOCDABMTEFGHNP错在哪里？等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。●作AB的垂直平分线CD。●作AT．BT的垂直平分线EF．GH你能破镜重圆吗？ABACmn·O作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。破镜重圆ABCmn·O弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。作图依据：九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(3)-----垂径定理的应用垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧MOACBN①直线MN过圆心②MN⊥AB③AC=BC④⑤垂径定理⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NBMOACBN①直线MN过圆心③AC=BC②MN⊥AB④⑤⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NB垂径定理推论1推论1.(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。MOACBN②MN⊥AB③AC=BC垂径定理推论1①直线MN过圆心O④⑤⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NB推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN垂径定理推论1②MN⊥AB③AC=BC④⌒AM=⌒MB①直线MN过圆心O⑤⌒AN=⌒NB推论1:(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧圆的两条平行弦所夹的弧相等。●OABCD●OABCDMM垂径定理推论2例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是的圆心），其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.CDCDCD垂径定理的应用(测公路的弯道的半径)解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m.∵OE⊥CD，∴CF=1/2CD=1/2×600=300（m）.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R-90）2解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.RmF0CDE赵州石拱桥•例2、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).驶向胜利的彼岸你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？赵州石拱桥驶向胜利的彼岸解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设ABABABAB,2.7,4.37CDABABAD21,7.184.3721DCOCOD.2.7R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2.7(7.18222RR即解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2ODCBAM变式1：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且C