数列中裂项相消的常见策略

数列中裂项相消的常见策略化娟（甘肃省临泽一中734000）裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考.1利用分式的通分进行裂项通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用)11(1)(1knnkknn进行裂项.例1求和1+n32113211211＿分析因为1112)2(23211nnnnn，所以原式=21211141313121211nnnn例2已知等差数列na满足：a3=7,a5+a7=26,na的前n项和为Sn（1）求a4及Sn（2）令b)(112Nnann,求数列nb的前n项和为Tn.分析（1）略.(2)由12nan，得)1(412nnan,从而),111(41)1(41nnnnbn因此nnbbbT21=)1113121211(41nn=)111(41n=)1(nnn.2利用根式的分母有理化进行裂项分母有理化可以把分母中的根式去掉，从而转化为差的形式进行裂项.例如可以利用分式)(11nknkknn等.例3已知数列na满足1)1(1nnnnan，求nS.分析由1)1(1nnnnan=)1()1(1)1(22nnnnnnnn=111nn.得nS=)3121()211(111)111(nnn.3利用配凑法进行裂项把数列通过加一个数再减一个数或者乘一个数再除一个数，凑成差的形式进行裂项.例如112211)()()(aaaaaaaannnnn等形式.例4已知数列na满足条件)1)(1()1(1nnanan，且62a，设nabnn，求nb的通项公式.分析将nbann代入)1)(1()1(1nnanan，得)1(2)1()1(1nbnbnnn，从而)2()1(2)1()1(1nnnnnbnnbnn.令),2()1(nnnbcbn则)111(2)1(21nnnnccnn.从而)()(211nnnnnccccc223)(ccc=22)12131212111(cnnnn=2(111n)+22b=212n，于是22)1()212()1(nnnnnncbnn.4利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如tantan1tantan)tan(可以变形为1)tan(tantantantan或者其他形式，从而解决问题.例5在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作nT，.1n（1）求数列na的通项公式；（2）设1tantannnnaab，求数列nb的前n项和nS.分析（1）).1(2lgnnTann（2）由题意和第（1）小题的计算结果，知)1)(3tan()2tan(nnnbn另一方面，利用kkkkkktan)1tan(1tan)1tan(1tan1tan，得,11tantan)1tan(tan)1tan(kkkk于是nnkkkkbSnininiin1tan3tan)3tan(11tantan)1tan(tan)1tan(231235利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质NMNMalogloglog，有些试题则可以构造这种形式进行裂项.例6各项都是正数的等比数列na满足)(1Nnan，当2n时，证明：nnnaanaaaaaalglg1lglg1lglg1lglg1113221.分析设等比数列na的公比为q（q0），由qaann1，得qaannlglglg1，从而，)lg1lg1(lg1lglg111nnnnaaqaa，因此，左边=)lg1lg1()lg1lg1()lg1lg1(lg113221nnaaaaaaq111121lglg1lglglg)1(lg1lglglglglg1)lg1lg1(lg1aanaaqnaaaaaqaaqnnnnn右式.6利用排列数或组合数的性质进行裂项排列数有性质!)!1(!nnnn，组合数有这样的性质11mnmnmnCCC，都可以作为裂项的依据.例7求和：_____!!22!11nn分析直接利用!)!1(!nnnn可得结果是1)!1(n.例8求和：)!1(!32!21nnSn.分析有)!1(1!1)!1(11)!1(nnnnnn，得)!1(11nSn.例9求和：22322nnCCCS.分析利用组合数性质，有3312kkkCCC，从而31333122nnnCCCCS.