--椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗？

一、问题提出椅子（四条腿的椅脚连线呈长方形）能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。二、问题分析该模型看似与数学与数学无关，但我们可以用数学语言给予表述，并用数学工具来证实，经过分析，我们可以用一元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。三、模型假设对椅子和地面应该做出一些必要的假设:1.椅子四条腿一样长,椅脚和地面接触处可视为一个点,四脚的连线呈长方形.2.地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断,即地面可视为数学上的连续曲面.3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.四、模型建立（显示模型函数的构造过程）用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来首先要用变量表示椅子的位置，椅脚连线成长方形，是一个中心对称图形，绕对角线的交点旋转180度后椅子回到原点，正好代表了椅子位置的改变，所以可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在直线为x轴，对称中心O为原点，建立直角坐标系，椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角(0)表示出椅子绕点O旋转后的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量的函数。虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。A,C两脚与地面的距离之和为()fB,D两脚与地面的距离之和为()g由假设2知道地面为连续曲面所以()f，()g是连续函数。由假设3可得对于任意的，()f，()g至少一个为0。可以假设(0)f=0，(0)g〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC，BD互换，于是()f〉0，()g=0。这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：已知()f，()g是的连续函数，对任意的，()f*()g=0，而且()(0)0fg，(0)0,()0fg。证明存在0，使(0)(0)0fg。五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）令()()()hfg，则(0)0h和()0h。由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，比存在0(0)使得(0)0h，即(0)(0)fg。最后因为(0)*(0)0fg，所以(0)(0)0fg。