行列式的多种计算方法

1行列式的多种计算方法摘要：行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.关键词：线性代数、行列式、方法正文：1定义法：n阶行列式等于所有取自不同列的n个元素的乘积的代数和．例1：nnnnnD000100002000010解：在n！项中只有一项1n),n3,2(,11342312aaaaaannnn且不为零!n)1(n1n21)1()1(D1n1n1123121nnnnnnaaaa2三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值.2.1特殊行列式n21nnn21nnn21nnn210*00000000*0000000)1(下三角行列式上三角行列式对角行列式n212)1(nnn21nnn21nnnn21)1(00000000000000000)2(nn次下三角行列式次上三角行列式次对角行列式2.2箭形行列式例2nnnnD0010301002111112解：)11(!0000300002011111221,3,21njnnnjCjCnjnjnnjDj2.3可化为箭形的行列式n1iiin1k222n1kiiCCn,2jn333222111n1iiin1133112211321r-rn2,in321321321321)x()1(1000101)(x1001-0101-0011-)(xx00x0x0x00xxxD:,,2,1,3j11iaaxaaxaaxaaxaaaxaaxaaxaaxxaaaaaaaaaaniaxxaaaaxaaaaxaaaaxDkkkkknkkknnnniinnnnnnn解例3降阶法降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算3)!1()1(21)1(00000000000)1(00000000000000000000004111nbababbbbabaabaaabbababaDnnnnn按第一列展开例4升阶法将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算0)()1(0000000001cccc0010010011rrrr,rr000151nnax112ax11nn1n1312nnnnaxannDaxaxaxnaaxaxaxaaaaxaxaxaaaxaaaxaaaxaaaDaxxaaaaxaaaaxaaaaxD时当时当例5递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n，2阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值4:,)()(:,)()(000000000)(000000000611111得由此递推下去得递推公式由此例nnnnnnnnnnnnnnnnnaxaDaxDaxaDaxaaaxaaxaaxDaxaaaaaxaaaaxaaaaxaxaaaxaaaxaaaxaaxaaaxaaaxaaaxxaaaaxaaaaxaaaaxD])1([)()()1()()(])())[((1111122anxaxaxanDaxaxaaxaDaxaxDnnnnnnn6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值)1(1n.)1)(11()11(1111)11(101111111111117111211121212121211112121niinnniinniinnnaaaaaDnaaaaDaaaaaDaaaDaaaaaaD的情形猜测正确，即设对假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测解其中例511211212121111100000000011111111111111111111nnnnnnnDaaaaDaaaaaaaaD于是又归纳假设得：)11()11(12111121121niinniinnnnaaaaaaaaaaaaD故对一切自然数n猜得正确，即1),11(121naaaaDniinn7利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式例8nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD32122322213211111n阶范德蒙行列式为njiijnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa111312112232221321)(1111解构造n+1阶范德蒙行列式6)(xf1,11,11,221,21,1)1()1(123211213231222112132111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAxAxAxxAAxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnijjinxxxxxxxx121)()())((1,1,nnnnnAMD由f(x)的表达式知，1nx的系数为nijjinnnijjinnnxxxxxDxxxxxA1211211,)()()()(8拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n个简单的行列式加以计算例9设nnnnaaaaD1111nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaD221122221211212111解nnnnnnnnnnxaxaaxaxaaxaxaaD221222221121211nnnnnnnnxaxaxxaxaxxaxax2212222112121niinnnnnnnnnAxxaxaaxaxaaxaxaa111221222221121211niijnjjniiniinnAxDAxAxD1111119变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果7例10211121112aaaaaaDn解令ax1，由（拆项法例题结果）知ninjijnAaaaaaaaaaaaaaaaaD11)1(100010001111010101110101011因为)]1()1[()1(0)1(11nanaDjijiaAnnnij10分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值例11nnnnnnnnnbababababababababaD212221212111解213))((0000000001111001001001001122111321321nnnbbaababbbbaaaaDnnn总结：对于低阶行列式的计算常常采用定义法、三角化法和降阶法，但降阶法一般用于零元素较多的行列式，或可以化成零元素较多的行列式；而利用升阶法计算的行列式应满足各行（列）含有共同元素的特点，且升降阶的最终目的是为了降阶；而递推法则满足n-1,n-2……阶行列式之间存在一定的递推关系的特点；而归纳法计算行列式则满足当n=1时成立，假设n=k时成立时n=k+1时也成立的特点；而如果运用范氏行列式应满足范氏行列式的形式特点；对于拆项法则行列式中有和的形式。总之，行列式的计算并没有统一的方法，当然计算方法必须根据行列式的特点来选取，并且灵活运用。8参考文献：张友贵《掌握线性代数》大连理工大学出版社湛少锋《线性代数习题与分析》清华大学冯红《线性代数大讲堂》大连理工大学徐仲《线性代数》西北工业大学912211111)(])())[((:,)()(:,)()(000000000)(000000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxaaxaDaxaxDaxaDaxDaxaDaxaaaxaaxaaxDaxaaaaaxaaaaxaaaaxaxaaaxaaaxaaaxaaxaaaaxaaaaxaaaaxxaaaaxaaaaxaaaaxD得由此递推下去的递推公式由此10