线性代数--第三章-矩阵的初等变换

第三章矩阵的初等变换与线性方程组§1矩阵的初等变换二、消元法解线性方程组一、矩阵的初等变换1、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk一、矩阵的初等变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．2、定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或等价关系的性质：1AA~（）反身性；2AB,BA;~~（）对称性若则3AB,BC,AC.~~~（）传递性若则具有上述三条性质的关系称为等价．3、定义3如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B,BAr～,BAc～引例)1(求解线性方程组,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程．2同解方程组二、消元法解线性方程组解)(1B)1()(2B2132,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134221323314,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx1342522133422,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232443用“回代”的方法求出解：解得3344321xcxcxcx.3可任意取值x,3,3,443231xxxxx方程组的解为令,3cx小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．ij（与相互替换）（以替换）ikij（以替换）iki3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵）的变换．用矩阵的初等行变换解方程组（2）：97963422644121121112B197963211322111241211B21rr23r331000620000111041211B979632113221112412111B13322rrrr143rr234330635500222041211B13322rrrr143rr23252rrr243rr500000310003011040101B310006200001110412113B43rr342rr400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr对应的方程组为5B33443231xxxxx方程组的解可记作或令,3cx3344321cccxxxxx30340111c.为任意常数其中c特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．都称为行阶梯形矩阵4B和5B矩阵4、411214011100001300000B特点：（1）是行阶梯形矩阵500000310003011040101B（2）非零行的第一个非零元为1．非零首元1所在的列其他元素为0都称为行最简形矩阵5B矩阵5、.,和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵nmA行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．000003100030110401015B214ccc3215334cccc例如，F000000010000010000010000030100310104100143cc00000301003001040001.的称为矩阵矩阵BF标准形标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmnmrOOOEF.,,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm例1将下列矩阵化为行最简形，标准形343122321(1)341122121221(2)1、定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.1)(,，得初等方阵两行，即中第对调jirrjiE对调两行或两列)1(1101111011),(jiE行第i行第j),(jiE2、三种初等矩阵0)2(乘某行或某列以数k矩阵得初等行乘单位矩阵的第以数,)(0kriki1111))((kkiE行第i))((kiE上去列加到另一行列乘某行以数)()()3(k得到初等矩阵列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)()(ijjikccjiEkkrrijEkkEijk11(,())11行第i行第jEijk(,())例2以下矩阵是否初等矩阵?100001010)1(A100011101)2(A001010100)3(A4、初等矩阵均可逆;则的逆变换是其本身，变换jirr),(),(1jiEjiE;1则，的逆变换为变换krkrii))1(())((1kiEkiE().ijijrkrrkr变换的逆变换为，则EijkEijk1(,())(,())3、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.AA0101011233100010654,.001001789例已知求,987456321B设解,))1(3,1()2,1(BAEE则有11))1(3,1()2,1(BEEA即))1(3,1()2,1(BEE987456321B21rr98732145613cc287221256.A四、初等矩阵的应用10000101040362125243061222540362125210005000140362125210501000140330105252142513621252例4定理1设A是一个mn矩阵,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.初等变换初等矩阵左乘：行变右乘：列变.,,,,22121llPPPAPPPA使得存在有限个初等矩阵可逆的充分必要条件是方阵定理.1~EAAr可逆的充分必要条件是方阵推论.,2BPAQQnPmBAnm使得阶可逆阵及阶可逆阵存在等价的充分必要条件是与矩阵推论nnAE2(,)第一步：构造矩阵，).,(),(1AEEA初等行变换AEEA1,,.第二步：施行初等行变换当把变成时原来的就变成五、初等行变换求逆矩阵.,3431223211AA求设解例5103620012520001321100343010122001321EA122rr133rr11110001252001120121rr23rr111100563020231001312rr325rr103620012520001321122rr133rr111100563020231001312rr325rr.111253232311A11110025323010231001）（22r）（13rAX=B,.利用初等行变换法求解矩阵方程)()(11BAEBAAABEAB1(,)(,).初等行变换例6.341352,343122321,BABAXX，其中使求矩阵解343431312252321)(BA1226209152052321311009152041201311006402023001122rr133rr21rr23rr312rr325rr，311003201023001.313223X）（22r）（13r311006402023001312rr325rrEAB1(,)§2矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵nmA一、矩阵秩的概念矩阵的秩.,,,12阶子式的称为矩阵阶行列式的中所处的位置次序而得变它们在不改元素个处的），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm132202132015A如，有一阶子式，二阶子式，三阶子式.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm..)()(0102阵的秩等于零并规定零矩或的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，