二次函数知识点总结与例题讲解

1、定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数2axy的性质：（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴；（2）函数2axy的图像与a的符号关系：①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点。（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a。（P21-12）3、二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。4、二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，。5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2。6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同。②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x。（P23-9,10）7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2。（P26-9）（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx。（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。9、抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用（P29-例2,1,10）（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样。（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线。abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置。当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：①0c，抛物线经过原点；②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab。10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：cbxaxy2。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay。26．1（用函数观点看一元二次方程1.如果抛物线yaxbxc2与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程axbxc20的一个根。2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。26．2实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。例题讲解：一、选择题1．由二次函数22(3)1yx，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线3xC．其最小值为1D．当3x时，y随x的增大而增大2、抛物线122mmxxy的图象过原点，则m为（）A、0B、1C、－1D、±13.已知二次函数24(2)3yx，它的顶点坐标为（）A.（-2,3）B.（-2，-3）C.（2，-3）D.（2,3）3yxO1第8题图4.对于二次函数23yx，23yx和213yx，下列说法正确的是（）A.开口都向上，且都关于y轴对称B.开口都向上，且都关于x轴对称C.顶点都是原点，且都关于y轴对称D.顶点都是原点，且都关于x轴对称5．抛物线222yxx（）A．与x轴只有一个交点B．与x轴有两个交点C．在x轴上方D．在x轴下方6.无论m取何值，代数式247mm一定是（）A.正数B.负数C.非正数D.非负数二、填空题1.写出一个开口向下，顶点在y轴的二次函数解析式_______________.2.已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．3.-13.已知抛物线与231yxx与直线:lyxb的图像只有一个交点，则o到直线l的距离为__________.4．将抛物线2yx向上平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是．5、将二次函数2xy的图象向下平移一个单位，则平移后的的解析式为6、已知，32-2bxxy的对称轴是1x，则b的值是17.已知二次函数244yxx，当x=__________时，y的值是4.0.8．如图是抛物线cbxaxy2的一部分，其对称轴为直线1x，与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式02cbxax的解集是．x＞3或x＜-19．若二次函数2()1yxm，当1x时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．m≥110、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是方程ax2＋bx＋c=0的两个根是三、解答题1、（已知，二次函数的顶点是（4，-8），且过点（6,0）求此二次函数的解析式2、画二次函数34-2xxy的图象3、已知点A（1，3）在抛物线2yax（0a）上，求当9y时x的值。解：4、已知抛物线过三点：（-1，-1）、（0，-2）、（1,1）.求抛物线所对应的二次函数的关系式.5.（本题满分9分）抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…21012…y…04408…（1）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是和；②抛物线经过点（3，）；③在对称轴右侧，y随x增大而；（2）试确定抛物线2yaxbxc的解析式。解：6、(8分)已知，二次函数22kxxy（1）当3-k时，求函数图象与x轴的交点坐标。（1.0）（2,0）（2）命题“函数22kxxy的图象一定与x轴有两个交点”．是否正确，若正确请证明，若不正确，请举反例说明.7.抛物线2(1)yxmxm与y轴交于点（0,5）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线顶点坐标；（3）画出这条抛物线（描五点即可）；（4）根据图像回答：①当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？②当x取什么值时，y0？（9分）8．（本题满分12分）已知关于x的方程2(31)30mxmx.（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线2313ymxmx与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；m=1（3）若点P1(x，1)y与Q1(xn，2)y在（2）中抛物线上（点P、Q不重合)，且12yy．求代数式22114125168xxnnn的值.解：9、（11分）如果一条抛物线2=++0yaxbxca与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）若抛物线2=-+0yxbxb的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；2（2）若△OAB是抛物线2=-+''0yxbxb的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过OCD、、三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．10.如图10，已知抛物线22yxxm经过点C（0,3），它与X轴相交于A,B两点，抛物线的对称轴为直线l交x轴于点E，D为对称轴l上异于E的一个动点。（1）求点A、B的坐标；（2分A(-1,0)B（3,0）（2）求△ADC的周长的最小值，并求此时D的坐标；（5分）D（1,2）AyOCxBEl图1011、（10分）26．如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线．（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式．（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．