4.4-解析函数零点的孤立性及惟一性定理

§4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理1、解析函数零点的孤立性2、唯一性定理3、最大与最小模原理定义4.7设f(z)在解析区域D内一点a的值为零,即：f(a)=0，则称a为解析函数f(z)的一个零点.如果在|z-a|R内,解析函数f(z)不恒为零,我们将它在点a展成幂级数,此时,幂级数的系数不必全为零.故必有一正数m(m≥1),使得(1)()()'()()0,()0,mmfafafafa但合乎上述条件的m称为零点a的阶(级),a称为f(z)的m（级）零点.当m=1时,a也称为f(z)的简单零点.1、解析函数的零点及其孤立性定理4.17不恒为零的解析函数f(z)以a为m级零点的充要条件为:𝒇(𝒛)=(𝒛−𝒂)𝒎𝝋(𝒛)()z其中𝝋(𝒂)≠𝟎.(4.14)在点a的邻域|z-a|R内解析,且证明：设f(z)以a为m级零点,则：0()()!nmnfafzzan(1)()()()()0,()0,mmfafafafa但()(),!nmnmfafzzan()()!nmnmfafzzan()()!nmnnmmfazazan()mzaz()()()!nnmnmfazzan0()()()()!nmnnfazzanm在a点解析，且0()()!mfaam设()()mfzzaa(z)在a点解析0()()()!nnnazzan:0()()()!()!nmnmnmnnnnnmaafzzazannm()()!nmnmfafzzan()0a(1)()()'()()0,()0mmfafafafa但例4.15：考察函数𝑓(𝑧)=𝑧−sin⁡𝑧在原点z=0的性质例4.16：求函数sin⁡𝑧−1的全部零点，并指出它们的阶（级）定理4.18如在|z-a|R内解析的函数f(z)不恒为零,a为其零点,则必有a的一个邻域,使得f(z)在其中无异于a的零点.(简单来说就是,不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.)),()()(zazzfm其中在点a的邻域|z-a|R内解析,且,0)(a)(z解析函数零点的孤立性证设a为f(z)的m级零点,于是,由定理(4.17)从而在点a连续.于是由例1.28知存在一邻域|z-a|r使得于其中恒不为零.故f(z)在其中无异于a的其它零点.)(z)(z零点的孤立性不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.逆否命题解析函数的零点是非孤立的，则此函数恒为零.(2)在K内有f(z)的一列零点{zn}(zn≠0)收敛于a,证因为f(z)在点a连续,且f(zn)=0,让n趋于无穷取极限,即得f(a)=0.故a是一个非孤立的零点.由定理4.18必f(z)在K内恒为零.推论4.19设(1)f(z)在邻域K:|z-a|R内解析;即存在{zn}K,(zn≠0)f(zn)=0,zn→a𝑓(𝒛)≡0⁡⁡𝒛∈𝐾思考题：p169试举一例说明：𝑓𝑧在某区域内𝐷解析且有无穷多个零点，但在𝐷内𝑓(𝑧)不恒等于零;这与推论4.19矛盾吗？例⁡⁡𝑓(𝑧)=sin11−𝑧在全平面上除𝑧=1外解析，此函数在其解析区域内有无穷多个零点但这些零点列的极限点（是唯一的）𝑧=1不在函数sin11−𝑧的解析区域内，而在边界上.⁡从而sin11−𝑧不恒为零.若此零点列的聚点在区域外，即𝑓(𝑧)不恒为零；若此零点列的聚点在区域内，则是推论的结果.𝑧𝑛=1−1𝑛𝜋,(1,2,⋯).(1)函数f1(z),f2(z)在区域D内解析由假设知①f(z)∈A(D),②在D内有一系列零点{zn}(zn≠0)收敛于a∈D.①如果D本身就是以a为心的圆,或D就是整个z平面,则由推论4.19即知:设:(2)D内有一个收敛于a∈D的点列{zn}(zn≠a),在其上f1(z)=f2(z),则f1(z)f2(z)z∈D证令f(z)=f1(z)-f2(z)只须证明f(z)在D内恒为零.12fzfz一般情况下,可用圆链法来证明.定理4.202（内部）唯一性定理推论4.21设在区域D内解析的函数f1(z)及f2(z)在D内的某一子区域(或一小段弧)相等,则它们在D内恒等.推论4.22一切在实轴上成立的恒等式,在z平面上也成立,只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的.由内部唯一性定理可以看出：解析函数在其定义域中某点邻域内的取值情况完全决定着它在其它部分的值。内部唯一性定理可以看成柯西公式的补充定理。注：推论4.19包含在定理4.20中，因此他们和推论4.21、4.22都称为解析函数的唯一性定理例4.17设1⁡函数𝑓(𝑧)及𝑔(𝑧)在区域𝐷内解析;2⁡在区域𝐷内𝑓(𝑧)⋅𝑔(𝑧)≡0,例4.18见课本p171由唯一性定理，在数学分析中常见的一些初等函数的幂级数展式都可以推广到复数域上来。试证：在𝐷内𝑓(𝑧)≡0或𝑔(𝑧)≡0.3、最大(小)模原理定理4.23(最大模原理)设f(z)在区域D内解析,则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.证如果用M表|f(z)|在D内的最小上界,则必0M+∞.假定在D内有一点z0,函数f(z)的模在z0达到它的最大值,即|f(z0)|=M.(1)应用平均值定理(定理3.12)于以z0为中心,并且连同它的周界一起都全含于区域D内的一个圆|z-z0|R,就得到解析函数论中最有用的定理之一.)Re(21)(2000dzfzfi.|)Re(|21|)(|2000dzfzfi(4.15)由于,|)Re(|0Mzfi而,|)(|0Mzf(02),.|)Re(|0Mzfi以下用反证法说明这一点:如果对于某一个值=0有：Mzfi|)Re(|00那么根据|f(z)|的连续函数的保号性：Mzfi|)Re(|000..[0,2]st:0,Mzfi|)Re(|0,|)Re(|21|)(|2000MzfzfMi在这个区间之外,总是在这样的情况下,由(4.15)得因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上|f(z)|=M,换句话说，自相矛盾在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有|f(z)|=M.(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.(3)由唯一性定理,必f(z)在D内为一常数.推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;DDD(2)|𝑓(𝑧)|≤𝑀(𝑧∈𝐷)则除f(z)为常数的情景外,|f(z)|M,(z∈D).注：最大模定理说明：解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模，这也是解析函数特有的性质。类似有最小模原理（p176）及其推论。例4.19使用最大模原理证明：  设𝑓𝑧在闭圆𝑧≤𝑅上解析，如果存在𝑎0，使当𝑧=𝑅时,     𝑓(𝑧)𝑎,而且     𝑓(0)𝑎,则在圆内𝑧𝑅，𝑓(𝑧)至少有一个零点.