第三章半导体中载流子的统计分布

第三章半导体中载流子的统计分布3.1状态密度3.2费米能级和载流子的统计分布3.3本征半导体的载流子浓度3.4杂质半导体的载流子浓度3.6简并半导体的载流子浓度载流子的产生：电子从价带跃迁到导带本征激发导带中电子从施主能级跃迁到导带杂质电离电子n电子从价带跃迁到导带本征激发价带中电子从价带跃迁到受主能级杂质电离的空穴第三章半导体中载流子的统计分布在一定的温度下，产生和复合达到热平衡，半导体就有恒定的电子、空穴浓度n，p温度改变时，建立新的热平衡，就有新的电子、空穴浓度n，p。第三章半导体中载流子的统计分布载流子的复合电子从导带跃迁到价带减少一对电子空穴电子从导带跃迁到施主能级电子从受主能级跃迁到价带3.1状态密度一、K空间中量子态的分布二、状态密度3.1状态密度状态密度的定义：在能带中能量E附近，单位能量间隔内的量子态数。设在能量E到E+dE内有dZ个量子态，则状态密度：dEdZEg)(3.1状态密度半导体中电子的允许能量状态（即能级）用波矢K标志。但电子的波矢K不能连续取值，K的取值为一、k空间中量子态的分布.......)2,1,0(2......)2,1,0(2.......)2,1,0(2zzzzzzzyyyyyyyxxxxxxxnLnaNnknLnaNnknLnaNnk3.1状态密度假设半导体为边长分别为Lx,Ly,Lz是半导体晶体的长方体，LxLyLz=V为长方体的体积，以波矢K的三个互相正交的分量Kx,Ky,Kz为坐标轴的直角坐标系所描写的空间为K空间。能量状态密度g(E)单位能量间隔内的状态数dZ=g(E)dE:E～E+dE能量间隔内的状态数dEdZEg)(3.1状态密度先看k空间的状态密度g(k).在同一能带内，每一个k值就代表一个状态，则在k空间，每单位体积内含的k值的数目就是g(k)(1)一维简并情况N总原子数，a原子间距,L=Na为一维晶体的长度),......2,1,0(2NnNank3.1状态密度相邻的两个k值的间隔:这相当于每一个状态占有k空间的长度为2/L。或单位k空间长度内包含有个状态即LNaNanNank22212）（21Nak22LNakg）（3.1状态密度(2)三维情况：k有三个方向的取值.......)2,1,0(22......)2,1,0(22.......)2,1,0(22zzzzzzzyyyyyyyxxxxxxxnLnaNnknLnaNnknLnaNnkNx，Ny，Nz晶体在x，y，z方向原胞数。ax，ay，az原胞在三个方向的原子间距。在每个方向上，相邻的两个k值之间的间隔分别是即每个K值（每个状态）占有K空间的体积为单位K空间的体积内包含的状态数V是晶体的实体积zzyyxxaNaNaN2,2,2VLLLaNaNaNVZyxzzyyxxk3322222）（）（3821)(VVkgkg(k)在k空间是均匀分布的为求出能量状态密度g(E)或在E～E+dE间隔内的状态数g(E)dE,我们只须求出在此能量间隔内包含的k空间的体积即可，为此必须知道E（k）关系，即能带结构。普遍的能带结构E（k）是难以确定的，但在带底或带顶等能面可近似为球形等能面。3.1状态密度3.1状态密度*222)(nCmkEkEdkkVdkkkgdZ2324824)(二、状态密度的计算导带底附近E(k)与K的关系能量E到E+dE间的量子态数由E(k)与K的关系得：dEEEmVdZdEmkdkEEmkCnnCn21321*22*2121*)()2(2)()2(结论：导带底和价带顶附近，单位能量间隔内的量子态数目，随电子的能量增加按抛物线关系增大，即能量越大，状态密度越大。结论导带态密度价带态密度3.1状态密度21323*222)(）（）（CncEEmVEg21323*222)(）（）（VpVEEmVEg3.1状态密度导带和价带的态密度分布图例题1•导出能量在Ec和Ec+kT之间时，导带上的有效状态总数（状态数/cm3)的表达式，是任意常数。3.1状态密度例题1.当T＝300k时，确定Si中Ec和Ec+KT之间的能态总数Si:mn*=1.08m0，mp*=0.56m02.当T＝300k时，确定Si中Ev和Ev+KT之间的能态总数3.求出Ec＋kT处导带有效密度与Ev+kT处价带有效密度的比值3.1状态密度3.2费米能级和载流子的统计分布一、电子的费米分布函数f（E）二、玻尔兹曼分布函数三、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度四、载流子浓度的乘积一.费米分布函数f(E)根据量子力学，电子为费米子，服从费米分布EF表示平衡状态的参数称为费米能级3.2费米能级和载流子的统计分布TkEEFeEf011)(3.2费米能级和载流子的统计分布不同温度下的费米分布函数与能量的关系（1）当T=0时EEF，f（E）=0EEF，f（E）=1EF为电子占据和未占据状态的分界线3.2费米能级和载流子的统计分布（2）当T0时E=EF，f（E）=1/2EEF，f（E）½若E-EFk0Tf（E）=0EEFf（E）½若E-EFk0Tf（E）=1如E-EF5k0Tf（E）0.007%E-EF5k0Tf（E）0.993%EF为电子占据状态的分界线3.2费米能级和载流子的统计分布费米能级的意义：（1）它标志在T=0K时电子占据和未占据的状态的分界线。即比费米能级高的量子态，都没有被电子占据，比费米能级低的量子态都被电子完全占据。（2）处于热平衡状态的系统由统一的费米能级。（3）费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含量有关3.2费米能级和载流子的统计分布3.2费米能级和载流子的统计分布能量为E的状态被空穴占据的几率为1-f(E)被电子占据的概率f(E)与空状态（被空穴占据）的概率1-f(E)例题1导带边缘Ec被填满的状态几率正好等于价带边缘Ev处空态的几率，求此时费米能级的位置解：由f(Ec)=1-f(Ev)可得：EF=(Ec+Ev)/2位于禁带中间3.2费米能级和载流子的统计分布例题2（a)在热平衡条件下，温度T大于0K，电子能量位于费米能级时，电子态的占有几率是多少？(b)若EF位于EC，试计算状态在EC+kT时发现电子的几率。3.2费米能级和载流子的统计分布(c)在EC+kT时，若状态被占据的几率等于状态未被占据的几率。此时费米能级位于何处？由题意得：解之得：3.2费米能级和载流子的统计分布二、波尔兹曼分布函数当E-EFk0T时，由于所以3.2费米能级和载流子的统计分布1)exp(0TkEEF001expexpFFEEEEkTkT3.2费米能级和载流子的统计分布费米分布函数TkEEFeEf011)(波尔兹曼函数TkEEFeEf0)(当E-EFk0T时即电子占据能量为E的量子态的几率由指数因子决定3.2费米能级和载流子的统计分布费米分布函数和玻尔兹曼分布函数的比较玻尔兹曼分布与费米分布的区别费米统计受泡利不相容原理限制，即不允许两个相同的粒子占据同一状态。玻尔兹曼分布（玻色子）允许相同的两个粒子占据同一状态。但当f（E）1时费米分布的限制已形同虚设，其差别可不忽略不计。3.2费米能级和载流子的统计分布3.2费米能级和载流子的统计分布空穴分布函数：价带顶空穴占据几率大价带底空穴占据几率～0当EF-EK0T时，上式分母中的1可以略去，则0111expFfEEEkTTkEEFeEf0)(13。简并半导体和非简并半导体简并半导体：掺杂浓度高，对于n型半导体，其费米能级EF接近导带或进入导带中；对于p型半导体，其费米能级EF接近价带或进入价带中的半导体非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级EF在禁带中的半导体020200FCFCFCEETkEETkEE020200FVFVFVEETkEETkEEn型半导体p型半导体非简并弱简并简并3.2费米能级和载流子的统计分布3.2费米能级和载流子的统计分布非简并弱简并简并简并弱简并三、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度知道f(E),g(E)之后，就可以计算载流子浓度n和p先讨论导带的电子浓度，然后用类似的方法可计算价带内空穴的浓度3.2费米能级和载流子的统计分布（1）导带中的电子浓度BcdNfEgEdEdEEETkEEmVdNCFn210323*2exp22））（（）（在能量E～（E+dE）间的电子数dN为把gc(E)和fB(E)代入上式，得或改写成在能量E～（E+dE）间单位体积中的电子数dn为3.2费米能级和载流子的统计分布dEEETkEEmVdNdnCFn210323*2exp221））（（）（3.2费米能级和载流子的统计分布对上式积分，可算得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为积分上限是导带顶能量。若引入变量x＝(E-EC)/(K0T),则上式变为1`210323*20exp221CCEECFndEEETkEEmn））（（）（（1）导带中的电子浓度dxexTkEETkmnxxFCn10210230323*20exp)221）（（）（（1）导带中的电子浓度为求解上式，利用如下积分公式'1/202xxxedx3.2费米能级和载流子的统计分布TkEExCC0''其中（1）导带中的电子浓度）（）（TkEETkmnFCn02320*0exp2200expCFCEEnNkT电子浓度n0导带的有效状态密度NcNc∝T3/2简化得3.2费米能级和载流子的统计分布2320*22）（TkmNnC（2）价带中的空穴浓度）（）（TkEETkmpVFp02320*0exp222320*22）（TkmNpV热平衡状态下，非简并半导体的价带中空穴浓度p0为0'1VVEVEgEpfEdEV与计算导带中电子浓度类似，计算可得令则得）（TkEENpVFV00exp结论)exp(00TkEENnfCc)exp(00TkEENnfCc00exp()CFCEEnNkT电子浓度空穴浓度导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度随着温度T和费米能级Ef的不同而变化，其中温度的影响来自NC、Nv和指数因子。费米能级也与温度及半导体中的杂质情况密切相关，在一定温度下，半导体中所含杂质的类型和数量不同，n0、p0也将随之变化。）（TkEENpVFV00exp3.2费米能级和载流子的统计分布四、载流子浓度的乘积200200ikTEVCikTEvCkTEEVCnpneNNneNNeNNpnggVC1.电子与空穴的浓度的乘积与费米能级无关2.在一定温度下，不同半导体材料，禁带宽度Eg不同，乘积n0p0也不同。3.对本征半导体和杂质半导体都成立4.T和Eg一定，处于热平衡态时，n0p0保持恒定，n0减少，p0增加；反之n0增加，p0减少3.2费米能级和载流子的统计分布本节小结载流子的浓度TkEEiiFenn00)exp(00TkEENnFCc)exp(00TkEENpVFvTkEEiFienp00200inpn平衡态非平衡态TkEEiFpFnenpn0200)exp()exp(00TkEEnNTkEENniCiCiCci本征半导体：费米能级Ei，载流子浓度n0=p0=ni)exp()exp(00TkEEnNTkEENnViiVVivi)exp()exp()exp()exp(00000TkEEnTkEETkEEnTkEENniFiFCiCiFCc3.3本征半导体的载流子浓度1.本征半导体的载流子浓度2.本征半导体的费米能级本