25、-共角定理

华数知识点点击破陈拓老师讲义第1页第25讲共角定理【内容综述】对于两个三角形，如果在不知道具体面积的情况下，如何根据角度和边的大小关系得到它们面积之比呢？除了以前学习的“底相同，面积比等于高之比；高相同，面积比等于底之比”之外，还有这节课学习的内容：有相同或互补（和为180°）的两个三角形的面积比例关系．1、共角三角形：如果两个三角形有两个角相同或互补（和为180°），那么就把这两个三角形叫做共角三角形；2、共角定理：共角三角形的面积比等于共角的两边的长度乘积之比．包括鸟头型、沙漏型、母子型：下面证明鸟头型和后一种母子型：如图，连结BE，则ADEABESaSab„„①，ABEABCScScd„„②，①②：ADEABCSacSabcd．说明：原图中两个有三角形，△ADE和△ABC，它们公共的角为A，且△ADE的A的两边分别是a和c，△ABC的A的两边分别是ab和cd．这两个三角形面积的比值就是找它们公共角的两边，相乘就是这个三角形对应的份数．如图，把△CDE绕C点旋转90°到△CFG的位置，则ABCBCFSaSc„„①，BCFCFGSbSd„„②，①②：ABCCDESabScd．说明：这种母子型使用条件是具有公共点的两角之和180°，三角形面积比仍是这两个角的两边长度乘积之比．这个母子型，像一个慈祥的母亲（大三角形）把可爱的孩子（小三角形）高高举起，因此可以看作“溺爱”的母子型．3、相似三角形：如果两个三角形有两对对应角相等，则称这两个三角形为相似三角形．相似三角形就像亲哥俩，长得非常像，可以一个大一点，一个小一点．但是他们是对应成倍放大或缩小．相似三角形的对应边的比例相同，对应的面积比等于对应边比的平方．什么情况下会产生相似三角形()()ADEABCSacSabcdbacdABCDE鸟头型22==ABOCDOSaAOBOaSbDOCOb，沙漏型aABDCOb()CDEABCSbcSacd母子型bacdABCDEabcdS1S212SabScdbacdABCDEabcddbcABCDEBACDEFGabcd华数知识点点击破陈拓老师讲义第2页呢？一般有平行线出现的时候，有双垂直出现的时候，看下面几个相似三角形，都是上面几个模型的特殊情况产生的．例1.1）如图，△ABC的面积是24平方厘米，D是BC的中点，E是AB上一点，满足AB3AE．则四边形AEDC的面积为_________平方厘米．【分析】我们可以先抛开整体的面积，求出图中两部分面积的比．△BDE和△ABC有公共角B，可以采用鸟头型结论得到两个三角形面积的对应份数．【解答】如图，根据已知标出每条基本线段的份数．由鸟头型的共角定理，得到△BDE的面积占△ABC面积的121233，从而四边形AEDC的占△ABC面积12133，实际面积为224163平方厘米．【评注】在解题过程中，先使用鸟头模型，得到各部分面积的比例关系，然后与实际面积对应，从而求出要求的四边形的面积．2）已知，图中两个三角形的面积差为10cm2，且AO:OC3:2，BO:OD1:3，那么△COD的面积为________cm2．【分析】本题图形是非标准沙漏，但有一对对顶角是相等的，可以使用沙漏模型解题．【解答】根据各边的已知关系，如图标出线段的份数，以及各部分的面积份数值．△COD的面积为1063620cm2．【评注】解答图中虚线圈出的数是共角的两边乘积，表示这块图形的面积份数．当然如果化简为最简比更加简单．例2.如图，两个三角形的部分边长已知（已标出），ABC50°，EDF45a°，DFE85a°，那么△ABC的面积是△DEF面积的_________倍．【分析】三角形内角和为180°，根据给出的EDF45a°，ABCDEDACBEABCDEADDB，AEEC//DEBCADAEDEDBECBCABAEBECDEDECBCDOA126DF500916ABCEABCDEABCDE111212BCDOA23131323华数知识点点击破陈拓老师讲义第3页DFE85a°，则E180°45a°85a°50°，这样就会发现这两个孤立的三角形也是共角三角形．【解答】根据分析，△ABC与△DEF中，BE50°，直接使用共角定理得到面积的比为9162126ABCDEFSS，所以，△ABC的面积是△DEF面积的2倍．【评注】两个三角形虽然孤立，但是如果能找到相等或互补的角，仍然可以使用共角定理．例3.1）如图，已知AE=13AC，CD=14BC，BF=15AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于_________．【分析】设△ABC的面积为1，△DEF的面积并不是很好求出，可以采取“三面埋伏”（不是十面埋伏）的方法．先求出△DEF周围的三个三角形的面积，那么它的面积就会逼出来啦．外围的每个三角形与△ABC都构成鸟头模型．【解答】如图，根据边的比例，标出基本线段的份数，利用鸟头模型，标出各部分面积．所以DEFABC三角形的面积三角形的面积1412132133451545【评注】如果一个图形的面积不容易求出，不妨采取“迂回”的策略．先求出它周围各部分的面积和整体面积，就可以间接求出所要的面积．2）如图，经过O点的三条直线两两之间的交角均为60°，在这三条直线上分别取六个点A、B、C、D、E、F，其中△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF的面积分别为9、12、16、15、10，那么六边形ABCDEF的面积为_______．【分析】六个三角形的面积已知五个，且都有一个角都是60°，说明这些三角形有相同的角，根据共角定理，这些角的两边乘积可以表示三角形的面积份数．可以合理对边长设数．【解答】设OA3，OB3，则可以把其它边长也表达出来，如图．△AOF的面积为8383，六边形ABCDEF的面积为912161510870．126DF500916ABCE916126BCDEFABCDEFA121314154315341423ABCDEFO912161510华数知识点点击破陈拓老师讲义第4页【评注】由于图中的边长是份数，为了区别面积的数值，采取了对面积数值“圈圆圈”的办法，避免混淆．例4.如图，四个边长分别为1、5、5、7的正方形组成一个四边形，在这个四边形中两条长度为5的边互相垂直．那么整个图形的面积为__________．【分析】为了求出整个图形面积，只需要把中间的四边形和外围的四个三角形的面积计算出来．当然，利用三角形的底和高求面积，有些三角形是不可行的．可以连结四边形的对角线，可以使用溺爱的母子型．【解答】为了表达方便，各顶点处标出字母，如图1，分解图形使用模型．先求四个正方形的面积，它们的和为12525272100．再求四边形ABCD的面积．如图2，连结BD，125512.5ABDS，BD225550，又知BC1，CD7，则222221750BCCDBD，勾股定理逆运用，得到BCD90°，所以1173.25BCDS，12.5+3.516ABCDS四边形．然后求△DEL和△BHI的面积之和，借助四边形ABCD的面积，采用母子型共角定理．如图3，连结AC，则△ACD的面积等于△DEL的面积，△ABC的面积等于△BHI的面积，所以16DELBHIACDABCABCDSSSSS四边形．同理，16AFGCKJABCDSSS四边形．整个图形的面积为100163148．【评注】对于一个复杂的图形，要学会拆解图形，变成已经掌握的基本模型，这里采用的是溺爱的母子型，复杂的题目就变得简单啦．ABCDEFO912161510334415483851755175ABCDEFGHIJKL图1ABCD图2图3ADCBIHEL华数知识点点击破陈拓老师讲义第5页例5.1）如图，过点O作三条平行于三角形三边的直线，构成三块面积分别是1、4、9的小三角形，那么△ABC的面积为__________．【分析】由于过O点作各边的平行线，则形成的四个三角形都是与原来△ABC相似的，根据相似三角形的面积比等于对应边的平方比，得到各边之间的关系．【解答】如图，△OIE、△DFO、△HOG都相似，面积比为1:4:9，面积比为1:2:3，同时都与△ABC相似，所以△ABC的面积为213166．【评注】如果两个三角形有两组角对应相等，那么这两个三角形就相似，面积的比等于相似比的平方．相似三角形是共角三角形的特殊情况，因为共角只需一组角对应相等或互补，而相似需要两组角对应相等．2）如图，四边形ABCD的面积是36平方厘米，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，AE2EB，AH2HD，CG2GD，CF2FB．那么四边形EFGH的面积是_________．【分析】“阴影面积有点难，咱就把它放一边．空白面积都求完，阴影面积自出现．”连结BD，由AE2EB，AH2HD，得到EH//BD，△AEH与△ABD相似．同理△CGF与△CDB相似，可以使用鸟头模型或相似．【解答】如图1，连结BD，由AE2EB，AH2HD，得到EH//BD，各边可以标记份数．224339AEHABDSS，同理224339CGFCDBSS，根据等比性质，得到49CGFAEHCGFAEHCGFAEHABDCDBABDCDBABCDSSSSSSSSSSS四边形．如图2，连结AC，同理得到19BEFDHGABCDSSS四边形．所以阴影四边形EFGH的面积为413619916平方厘米．【评注】本题先求出相对的两个空白三角形的面积之和占整体面积的几分之几，然后得到阴影部分占整体的几分之几．同时在求相对的两个三角形面积之和时，利用了等比性质．等比性质如下：特例：1234123424682468；ABC4O1921123DEFGHIABCDEFGH21212211图1ABCDEFGH21212211图2ABCDEFGHABC4O19华数知识点点击破陈拓老师讲义第6页一般地：若312123nnaaaabbbb，则12311231nnaaaaabbbbb．3）如图，在△ABC中，延长BA到D，使DA=AB；延长CA到E，使EA=2AC；延长CB到F使FB=3BC.如果△ABC的面积是288，那么△DEF的面积是________．【分析】设△ABC的面积为1份，则△ADE与△ABC构成沙漏型、△CEF与△ABC构成鸟头型、△BDF与△ABC构成依赖的母子型．【解答】根据分析，设△ABC的面积为1份．如图1，△ADE的面积为111212份；如图2，△CEF的面积为1111234份；如图3，△BDF的面积为111623份．122617DEFCEFADEBDFABCSSSSS份．△DEF的实际面积为288172016．【评注】善于从复杂图形中找到基本的模型，为了达到这一点，需要你做一定量的题目，并认真思考．例6.1）如图，E是长方形ABCD的边AB的中点，GD2AG，连结ED、GC．则EF:FD____:_____，GF:FC____:_____，四边形BCFE的面积占长方形ABCD面积的______分之_____．【分析】在比例图形的面积中，可以有多种方法供选择：1）连结EG、EC，利用风筝模型推出三角形；2）过E作EH//BC交CG于点H，利用梯形中位线沙漏；3）延长DE交CB的延长线于点M，利用两个沙漏模型；4）延长CG交BA的延长线于点N，利用两个沙漏模型．【解答】解法一：如图1，连