矩阵可逆的若干判定及求法(学年论文)

本科生学年论文（2012级）论文（设计）题目矩阵可逆的若干判定及求法作者陈凯丽分院、专业理工分院数学与应用数学专业班级数学1201指导教师（职称）杨浩波（副教授）字数7000成果完成时间2014年11月杭州师范大学钱江学院教学部制矩阵可逆的判定及求法数学与应用数学专业1201班陈凯丽指导教师杨浩波摘要可逆矩阵是线性代数中的一个重要工具。判定可逆矩阵及可逆矩阵的求有许多方法，本文对此进行系统的综述。判定可用定义法、行列式法、初等变换法，求逆可用分块矩阵、特征多项式法关键词：矩阵；逆矩阵；初等变换；线性方程组；伴随矩阵；分块矩阵；特征多项式。SomeMethodsforJudgingInvertibleMatrixandSolvingMethodKellyChenInstructor:HaoboYangAbstract:Reversiblematrixlinearalgebraisanimportanttool.ReversibleandirreversiblejudgmentmatrixevaluatesTherearemanyways,thisarticlesystematicallyreviewed.Availabledefinitiondeterminationmethod,determinantmethod,elementarytransformationmethod,theavailableblockmatrixinversion,characteristicpolynomial.Keyword:matrix;inversematrix;elementarytransformation;linearequations;adjoinmatrix;blockmatrix;characteristicpolynomial.目录1引言.............................................................................................................................................................12概述.....................................................................................................................................................12.1可逆矩阵的定义..............................................................................................................................12.2可逆矩阵的基本性质.......................................................................................................................13判定及求法.................................................................................................................................................23.1判定矩阵可逆方法——定义法.......................................................................................................23.2判定矩阵可逆方法——行列式法...................................................................................................23.3判定矩阵可逆方法——初等变换法...............................................................................................33.3.1矩阵的秩................................................................................................................................33.3.2初等变换................................................................................................................................33.5判定矩阵可逆方法——分块矩阵...................................................................................................53.6判定矩阵可逆方法——利用特征多项式判别矩阵可逆...............................................................74小结.............................................................................................................................................................8参考文献：....................................................................................................................................................81矩阵可逆的若干判定方法数学与应用数学专业陈凯丽指导教师杨浩波1引言矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念，是线性代数和代数学的一个主要研究对象和重要工具。它广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，因而也就使矩阵成为代数，特别是线性代数的一个主要研究对象。它主要讨论的是解线性方程组的理论问题，线性变换的理论，旋转坐标轴变换公式的矩阵表示，二次曲线一般方程的矩阵表示，国民经济中的调运方案等等问题。可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，它犹如有理数中的倒数。那么可逆矩阵的判定就显得非常重要了。2概述2.1可逆矩阵的定义对于n级方阵A，如果存在n级方阵B，使得AB=BA=I，则称A是可逆矩阵（可逆的），称B为A的逆矩阵并记为𝐴−1，即𝐴−1=𝐵ABBA注:可逆矩阵A必为方阵，其逆必唯一，且𝐴−1与A为同阶方阵，即A𝐴−1=𝐴−1𝐴=𝐼。2.2可逆矩阵的基本性质（1）若A可逆，则𝐴−1也可逆且(A−1)−1=𝐴；（2）若A可逆，则𝐴𝑇也可逆且(𝐴𝑇)−1=(𝐴−1)𝑇；（3）若A可逆，数λ≠0，则(𝜆𝐴)也可逆且(𝜆𝐴)−1=1𝜆𝐴−1；（4）若A，B都可逆，则AB也可逆且(𝐴𝐵)−1=𝐵−1𝐴−1，可推广为𝐴1，𝐴2，⋯，𝐴𝑛均可逆且(𝐴1𝐴2⋯𝐴𝑛)−1=𝐴𝑛−1𝐴𝑛−1−1⋯𝐴1−1；（5）若A可逆，则|𝐴−1|=|𝐴|−1；（6）若A可逆，则𝐴−k=(𝐴−1)𝑘；注1：若A,B为同阶的可逆矩阵，则A+B不一定可逆，如A=[1121]，B=[1021]均可逆，但2A+B=[2142]不可逆。注2：（4）的逆命题成立。即若AB可逆，则A,B也可逆。这是因为：由于AB可逆，|𝐴𝐵|=|𝐴||𝐵|≠0，有|𝐴|≠0且|𝐵|≠0，所以A,B也可逆。3判定及求法3.1判定矩阵可逆方法——定义法定义1：n级方阵A称为是可逆的，如果存在n级方阵B，使得AB=BA=I，且𝐴−1=B。这里I是n阶单位矩阵。利用定义的方法，当求解矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中由AB=I,从而可得𝐴−1=𝐵这一方法适用于抽象矩阵求逆。例1设A=[𝑎𝑏𝑐𝑑]，ad−bc=1;求𝐴−1。解因为|𝐴|=ad−bc=1≠0所以A可逆。设A的逆矩阵为B=[𝑥𝑦𝑧𝑤]，由于AB=BA=I，得{𝑎𝑥+𝑏𝑧=𝑥𝑎+𝑦𝑐=1ay+bw=xb+dy=0𝑐𝑥+𝑑𝑧=𝑧𝑎+𝑤𝑐=0𝑐𝑦+𝑑𝑤=𝑧𝑏+𝑤𝑑=1，解得{𝑥=𝑑y=−b𝑧=−𝑐𝑤=𝑎所以𝐴−1=𝐵=[𝑑−𝑏−𝑐𝑎]。注释：定义法一般适用于求二级，三级可逆方阵的逆矩阵，级数高的可逆矩阵不采取这种方法。因为矩阵的级数越大，方程组所含的方程越多，解方程就越困难，由此带来的计算量一般是非常大的。3.2判定矩阵可逆方法——行列式法把n阶矩阵A=[𝑎11𝑎12…𝑎1𝑛𝑎21𝑎22⋯𝑎2𝑛⋮⋮⋯⋮𝑎𝑛1𝑎𝑛2⋯𝑎𝑛𝑛]的唯一的𝑛阶子式|𝑎11𝑎12⋯𝑎1𝑛𝑎21𝑎22⋯𝑎2𝑛⋮⋮⋯⋮𝑎𝑛1𝑎𝑛2⋯𝑎𝑛𝑛|叫做矩阵𝐴的行列式，记作detA.定义2：对𝑛阶矩阵𝐴，若detA≠0，则矩阵𝐴可逆，且𝐴−1=1det𝐴𝐴∗。3例2设A=[123452367]，判定A是否可逆，若可逆，求出A−1detA=|123452367|=6≠0,则A可逆。求逆矩阵的伴随矩阵公式𝐴−1=1detA𝐴∗如上例中𝐴−1=1det𝐴𝐴∗=[236−1133223−130−11653−12]3.3判定矩阵可逆方法——初等变换法3.3.1矩阵的秩矩阵的秩是指一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数。若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为它的秩是零，它也是判定矩阵可逆性的一种方法。定义3：若一个n阶矩阵𝐴的秩等于n，则矩阵𝐴可逆。3.3.2初等变换定义4：对一个矩阵施行下列变换：1.交换矩阵的某两行（列）的位置；2.矩阵的某一行（列）乘以一个非零数k，即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；3.矩阵的某行（列）乘以数k加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上；定理1：对矩阵𝐴施行初等变换后，得到矩阵𝐴̅。若𝐴̅可逆，则𝐴可逆。定理2：对矩阵𝐴施行初等变换后，得到的阶梯形矩阵𝐴̅。若𝐴̅的非零行数为n，则A可逆。定理3：对矩阵𝐴施行初等变换后，若得到的标准形矩阵为单位矩阵，则𝐴可逆。（1）初等行变换法因为当n级方阵A可逆时，A可由初等变换化成单位矩阵，即𝑃𝑆𝑃𝑆−1⋯𝑃1𝐴=𝐼。于是𝑃𝑆𝑃𝑆−1⋯𝑃1𝐼=𝐴−1，这里𝑃𝑆𝑃𝑆−1⋯𝑃1都是初等矩阵，可见𝐴−1=𝑃𝑆𝑃𝑆−1⋯𝑃1，即有[𝐴,𝐼]初等行变换→[𝑃𝑆𝑃𝑆−1⋯𝑃1𝐴,𝑃𝑆𝑃𝑆−1⋯𝑃1𝐸]=[𝐼,𝐴−1]4（2）初等列变换法：仿（1）的分析可得到[𝐴I]初等列变换→[𝐴𝑄1⋯𝑄1𝐼𝑄1⋯𝑄1]=[𝐼𝐴−1]例3设X=[2513]，求𝑋−1解对下列矩阵始终施行初等行变换[𝑋𝐼]=[25131001]→⋯→[10013−5−12]故𝑋−1=[3−5−12]注：用初等行变换法求𝐴−1时，对[𝑋⋮𝐼]只能施行一系列初等行变换，而不能用初等列变换.同理对[𝐴I]只能施行一系列初等列变换，而不能用初等行变换.