河南省洛阳市第二外国语学校2013年中考数学复习课件：第二部分-第六章-第4讲-图形的相似

第4讲图形的相似1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．2．知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例、面积的比等于对应边比的平方．3．了解两个三角形相似的概念、两个三角形相似的条件．4．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．1．比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的简称_____________．成比例线段比例线段比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做__________________，2．比例的基本性质ad＝bc⇔__________________________.(1)基本性质：ab＝cd⇔________.(2)合比性质：ab＝cd⇔________.(3)等比性质：ab＝cd＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)a±bb＝c±dda＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝k3．黄金分割(1)定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_______________，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的____________，AC与AB的比叫做黄金比．黄金分割点ACAB＝5－12(2)黄金比的比值：5－12，约为0.618.4．平行线分线段成比例比比(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的______相等．相等成比例相似比相似比的平方相似比(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的______相等．5．相似多边形的性质(1)对应角________，对应边__________．(2)周长之比等于________，面积之比等于______________．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于________．6．相似三角形的定义相等成比例如果两个三角形的对应角__________，对应边__________，那么这两个三角形叫做相似三角形．7．相似三角形的判定两边对应成比例，且夹角相等(1)两角对应相等的两个三角形相似．三边对应成比例(2)_______________________________的两个三角形相似．(3)_______________________________的两个三角形相似．(4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形__________．相似8．位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅________，而且对应顶点的连线相交于__________，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做____________．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__________．相似一点位似中心位似比1.如图6－4－1，平行四边形ABCD中，点E是BC延长线上)的一点，连接AE交CD于点F，则图中相似的三角形共有(图6－4－1A．1对C．3对B．2对D．4对C2．如图6－4－2，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正确的是()D图6－4－2A．BC＝2DEB．△ADE∽△ABCC.ADAE＝ABACD．S△ABC＝3S△ADE3．图6－4－3中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是()D图6－4－3A．点MC．点OB．点ND．点P4．如图6－4－4，在△ABC中，EF∥BC，AEEB＝12，S四边形BCFE＝8，则S△ABC＝()A．9C．12图6－4－4B．10D．13A5．如图6－4－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．图6－4－5(1)若BD＝6，AD＝4，则CD＝__________；(2)若BD＝6，BC＝8，则AC＝__________.483考点1相似三角形的判定1．(2011年广东深圳)如图6－4－6，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图6－4－6中的△ABC相似的是()B图6－4－6ABCD∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE.(1)求证：∠CBE＝36°；图6－4－7(2)求证：AE2＝AC·EC.证明：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EBA＝∠A＝36°.∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∴∠CBE＝∠ABC－∠EBA＝36°.2．(2009年广东肇庆)如图6－4－7，在△ABC中，AB＝AC，(2)由(1)得，在△BCE中，∠C＝72°，∠CBE＝36°，∴∠BEC＝∠C＝72°.∴BC＝BE＝AE.在△ABC与△BEC中，∠CBE＝∠A，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC.∴ACBC＝BCEC.即BC2＝AC·EC.故AE2＝AC·EC.3.(2010年广东珠海)如图6－4－8，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，点F为线段DE上的一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；图6－4－8(2)若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＋∠C＝180°，且AD∥BC.∴∠ADE＝∠DEC(两直线平行，内错角相等)．∵∠AFE＝∠B，且∠AFE＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠C.∴△ADF∽△DEC.(2)解：DC＝AB＝4(平行四边形对边相等)．∵AE⊥BC,∴AE⊥AD.∴DE＝AE2＋AD2＝6.又由(1)，得△ADF∽△DEC，则AFDC＝ADDE，即AF4＝336.∴AF＝23.规律方法：熟练掌握相似三角形的判别条件以及三角形的相关定理，是解决相似三角形的关键．考点2相似三角形的性质A图6－4－94．(2011年广东中山)将如图6－4－9中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是()5．(2011年广东肇庆)如图6－4－10，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝()B图6－4－10A．7B．7.5C．8D．8.56．(2009年广东茂名)如图6－4－11，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲，乙楼顶B，C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是________米．60图6－4－11规律方法：相似三角形的性质相对较多，但是各性质之间可以相互转换使用．熟练转换应用相似三角形的性质能很好很快解决相似三角形计算的问题．考点3相似三角形与其他知识点的综合运用7．(2011年广东河源)如图6－4－12，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长，与AD的延长线交于点Q.(1)求证：△DQP∽△CBP；(2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长．图6－4－12(1)证明：∵∠QPD＝∠CPB，又在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠Q＝∠CBP.故△DQP∽△CBP.(2)解：由(1)知△DQP∽△CBP，当△DQP≌△CBP时，DP＝PC，且CD＝AB＝8，故DP＝PC＝4.8．(2012年广东梅州)如图6－4－13，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.图6－4－13(1)求证：△ADE∽△BCE；(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.∴∠A＝∠B.又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE.图D41图D42证明：(1)如图D41，∵∠A与∠B是CD对的圆周角，(2)如图D42，∵AD2＝AE·AC，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD.∴∠AED＝∠ADC.又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD.∴CD＝CB.∴AEAD＝ADAC.9．(2009年广东)如图6－4－14，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．(1)证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；(2)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大？并求出最大面积；(3)当点M运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的值．图6－4－14(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∠AMB＋∠BAM＝90°.∵∠AMB＋∠CMN＋∠AMN＝180°，∠AMN＝90°，∴∠AMB＋∠CMN＝90°.∴∠BAM＝∠CMN.∴Rt△ABM∽Rt△MCN.(2)解：设BM＝x，∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴ABMC＝BMCN，即44－x＝xCN，解得CN＝x4－x4.∵S梯形ABCN＝12(CN＋AB)BC，∴当x＝2时，y有最大值10.∴当点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.∴y＝12x4－x4＋4×4，即y＝－12x2＋2x＋8.又∵y＝－12x2＋2x＋8＝－12(x－2)2＋10，(3)解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴ABAM＝CMMN，即4x2＋16＝4－x4－x2＋x4－x42.解得x＝2.∴当点M运动到BC的中点时Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x的值为2.考点4图形的位似图6－4－1510．(2011年广东广州)如图6－4－15，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．12(－2x,－2y)图6－4－16规律方法：熟记位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，应用比例性质是熟练解决位似图形的常用方法．11．(2010年广东茂名)如图6－4－16，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O是位似中心，若△OAB内的一点P(x，y)与△OA′B′内的一点P′是一对对应点，则点P′的坐标是__________．