等差数列的前n项和公式的巧记及其性质

我们都知道等差数列的前n项和公式有2个，你都记住了吗？有没有巧妙的记忆方法？等差数列的前n项和Sn有哪些我们必须知道的性质呢？问题2：问题1：课前提示目录1.等差数列的前n项和公式Sn的巧记方法2.等差数列的前n项和公式Sn的性质及其应用等差数列的前n项和公式Sn的巧记方法对一般的等差数列{an}，则有Sn=an+an-1+…+a12Sn=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1)=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)Sn=a1+a2+…+an=n(a1+an)等差数列的前n项和将an用首项a1和公差d表示，可得等差数列的前n项和已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝1anna1annaSn与梯形面积1ana12()nnaanSn补成平形四边形na1anSSn与梯形面积1a112()nnndSna分割成一个平行四边形和一个三角形n1aan=a1+(n-1)d(n-1)dnSSn与梯形面积例1已知数列{an}是等差数列，(1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；(3)若S10＝310，S20＝1220，求Sn.(1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；还有更简单的方法吗？(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；(3)若S10＝310，S20＝1220，求Sn.[题后感悟]　a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．1.在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；(3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值．(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；(3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值an=a10+(n－10)d1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于(　　)A．5或7　　　B．3或5C．7或－1D．3或－12．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等于(　　)A．51B．50C．49D．483．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19的值为________．4．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．等差数列的前n项和公式Sn的性质等差数列的Sn最值问题2122()nddSnanSn是一个关于n的二次函数.因此我们可以借助二次函数的图像和性质来研究等差数列前n项和的有关问题.等差数列的Sn最值问题2122()nddSnan2ABnSnn若某个数列的前n项和Sn可以表示成，则这个数列是等差数列.2ABnSnn等差数列的Sn的性质2122()nddSnan122()nSddnan是一个等差数列，公差为.2d{}nSn例2在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．由题目可获取以下主要信息：①{an}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9.解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an≥0，an＋10或利用性质求出大于或等于零的项．方法三：先求出d＝－2(同方法一)，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14,故a13＋a14＝0.∵d＝－20，a10.∴a130，a140，故n＝13时，Sn有最大值169.已知等差数列{an}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d的值；(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．已知等差数列{an}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d的值；(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．例3在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．由题目可获取以下主要信息：①数列{an}为等差数列；②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d.先分清哪些项是负的，再分段求出前n项的绝对值之和．例3在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．已知等差数列{an}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和An.{}nSn是等差数列282=S464=S公差－12．等差数列的前n项和公式的应用(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．(2)两个公式共涉及a1、d、n、an及Sn五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．