华中科技大学考研数学分析真题答案

1/52008年华中科技大学招收硕士研究生.入学考试自命题试题数学分析一、求极限1111lim(1...)23nnIn解:一方面显然1I另一方面1111...23nn，且1lim1nnn由迫敛性可知1I。注：1lim1nnn可用如下两种方式证明1）令1nnnh，则22(1)2(1)1(2)2nnnnnnnhhhnn即lim0nnh，从而1lim1nnn2）由234...1231nnnnn有limlim11nnnnnn。二、证明2232(38)(812)yxyxydxxxyyedy为某个函数的全微分，并求它的原函数。证明：记22(,)38Pxyxyxy，32(,)812yQxyxxyye，则2316Pxxyy，2316QxxyxPQyxPdxQdy是某个函数的全微分设原函数为(,)xy，则xyddxdyPdxQdy2232238(,)4()xxyxyxyxyxyy32328()812yyxxyyxxyye()12()12(1)yyyyeyyeC322(,)412(1)yxyxyxyyeCC所求原函数为（为常数）三、设是空间区域且不包含原点，其边界为封闭光滑曲面：用n表示的单位外法向量，(,,)rxyz和222rrxyz，证明：2/51cos(,)2dxdydznrdSr证明：设n的方向余弦为cos,cos,cos。因为r的方向余弦为,,xyzrrr，所以cos(,)coscoscosxyznrrrr，由于原点不在空间区域，根据高斯公式，有11cos(,)(coscoscos)22121()()()2xyznrdSdSrrrxyzdydzdzdxdxdyrrrxyzdxdydzxryrzrdxdydzr注：当原点也在该区域时，结论也成立，详细参考课本P296第8题答案。四、设()ft为连续函数，证明：11()()()()1bybnnaaadyyxfxdxbxfxdxn证明：记(,)()()nFxyyxfx，{(,)|,}Dxyaxyayb由于()ft为连续函数，故(,)Fxy在D上连续，从而在D上可积。而对每个[,]yab，(,)yaFxydx存在，从而累次积分(,)byaadyFxydx也存在，同理(,)bxaadxFxydy也存在。于是(,)(,)(,)bybxaaaaDFxydxdydyFxydxdxFxydy即11()()()()1bybnnaaadyyxfxdxbxfxdxn五、设12x，12(1,2,3,...)nnxxn，证明{}nx收敛并求其极限。证明：一方面由归纳法易知22nx，即{}nx有界。另一方面21172(2)024nnnnnxxxxx于是{}nx单调，从而{}nx收敛。设limnnxx，则2xx解得2x3/5lim2nnx六、设反常积分0()fxdx绝对收敛且lim()0xfx，证明20()fxdx收敛。证明：由于lim()0xfx，故10A，当1xA时，()1fx，此时2()()fxfx再由0()fxdx绝对收敛知，对0，20A有2()Afxdx取12max{,}AAA，则22()()()AAAfxdxfxdxfxdx故20()fxdx收敛。注：这里还差0不是()fx的瑕点这一条件，若不然讨论320sinxxdx由下题可知320sinxxdx绝对收敛，但230sinxdxx发散。这是因为2300sin14xdxdxxx发散；233sin1xdxdxxx收敛。七、讨论反常积分0sinpxdxx的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散），其中0p为常数。解：记112001sinsinsinpppxxxIdxdxdxIIxxx1）先讨论1I（可以用瑕积分收敛判别的推论）由0sinlim1xxx可知，0，当0x时，1sin322xx110sinsinppxxIdxdxxx，1sinpxdxx是定积分，只需考虑0sinpxdxx当02p时，1sin32ppxxx，由103(2)2pdxpx收敛知0sinpxdxx收敛，且绝对收敛；当2p时，1sin12ppxxx，由101(2)2pdxpx发散知0sinpxdxx发散。2）再讨论2I当1p时，sin1ppxxx，由11pdxx收敛知1sinpxdxx绝对收敛当01p时，1sinpxdxx条件收敛，这是由于对任意1u，有4/51sincoscos12uxdxu，而1px单调趋于0()x，由狄利克雷判别法知1sinpxdxx收敛。另外2sinsin1cos2(1)22pxxxxxxxx，其中12cos21cos22xtdxdtxt满足狄利克雷条件，是收敛的。但112dxx是发散的。所以当01p时，2I是条件收敛的。综上所述，当01p时，I条件收敛；当12p时，I绝对收敛；当2p时，I发散。八、将函数()()([0,])fxxxx展开为余弦级数。解：对()fx作偶式周期延拓，则()fx的傅里叶系数为：0,1,2,...nbn2002()3axxdx000020200222()cos()sin2()sin(2)sin2(2)cos2(2)cos2cos2(cos1)naxxnxdxxxdnxnxxnxxnxdxnxdnxnxnxnxdxnnn即221kak，210ka（1,2,...k）221cos2()~6kkxfxk5/5九、证明函数20cos()1()xIydxxy在[0,)上可微证明：对0y，2200cos1()1()12xIydxdxxyx收敛记2cos(,)1()xfxyxy，则22()cos(,)1()yxyxfxyxy。(,)fxy与(,)xfxy在[0,)[0,)上均连续由于对,0xy，21()2()xyxy，因此220001cos1(,)21()12xxfxydxdxdxxyx即0(,)xfxydx在[0,)上收敛故20cos()1()xIydxxy在[0,)上可微且202()cos(),01()xyxIydxyxy十、设()fx在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立()1fx，()2fx。证明在[0,1]上成立()3fx。证明：根据泰勒公式，分别将(0)f与(1)f在x处展开：22()(0)()()()([0,])2()(1)()()(1)(1)([,1])2fffxfxxxxfffxfxxxx两式相减得22()()()(1)(0)(1)22fffxffxx2222()()()(1)(0)(1)22(1)(0)(1)152()322fffxffxxffxxx