有题目——多自由度振动-拉格朗日方程

多自由度系统振动姓名:何江波学院:机械工程学院邮箱：[e-mail]2020/4/14教学内容拉格朗日方程多自由系统的无阻尼自由振动2拉格朗日方程3m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t)g1mg2mAB)(tFkx对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统动力学方程。AB＝2L拉格朗日方程4单自由度系统受迫振动的动力方程：mcxkx()Ftkcx0m()FtmxcxkxFt212dmxdkxFtcxdtdx221122dddmxkxFtcxdtdxdxddTdVFtcxdtdxdx对于多自由度系统，能否从能量入手建立动力方程？动能：T，势能：V拉格朗日方程51736年1月25日生于意大利西北部的都灵,1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766他应邀去柏林，居住达20年之久.在此期间，他完成了《分析力学》(1788出版)一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。拉格朗日方程先看一个例子：图示双摆，质量m1，m2在平面摆动。因此，只有两个坐标独立。广义坐标：),(11yxL1L2xy12),(22yxm1m2可以取四个直角坐标来描述系统的运动。11(,)xy22(,)xy但这四个直角坐标不独立，有：22211122221212(-)(-)xyLxxyyL能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。本例中，可选作为广义坐标；也可选作为广义坐标。12(,)12(,)xx6拉格朗日方程7ddjjjLLQtqq拉格朗日方程（Lagrange方程）:应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤：1、确定系统的广义坐标；2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能；3、给出系统的拉格朗日函数；4、确定系统的广义力；5、拉格朗日函数、广义力带入Lagrange方程广义坐标:；拉格朗日函数:L＝T-V；动能:；势能(包括重力势能和弹性势能):；广义力：11(,,,,,,)kkTTqqqqt12,,,kqqq1(,,)kVVqqjQ拉格朗日方程8单自由度系统受迫振动的动力方程：kcxm()Ft应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤：1、广义坐标x2、动能，势能：3、拉格朗日函数：4、系统的广义力：5、拉格朗日函数、广义力带入Lagrange方程：2211,22TmxVkx221122LTVmxkxddLLFttxxmxkxFtcxFtcx拉格朗日方程9g1mg2mAB)(tFkx图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统动力学方程。AB＝2LAvxcoscxvxLsincyvL2222221212222211112()cos222231(1cos)2ccTmxmvJmmxmxLmLVmgLkx1、选定广义坐标x，θ质量块速度为：均质杆转动速度为：均质杆质心的速度为：AB2、动能和势能分别为：拉格朗日方程104、广义力：5、建立系统动力学方程：(),0xQFtQg1mg2mAB)(tFkx222212222121()cos(1cos)232LTVmmxmxLmLmgLkxdd,ddxLLLLQQtxxt212222222()cossin()1(2)cossin03mmxmLmLkxFtmLmLxmgL3、拉格朗日函数拉格朗日方程11m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t)对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。拉格朗日方程12m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t)对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。22211223312345622222211122213332443552662111222111111,,,,,222222TmxmxmxVVVVVVVVkxVkxxVkxxVkxVkxVkx1、选定广义坐标x1，x2，x32、动能和势能分别为：拉格朗日方程135、建立动力学方程：4、广义力：F1，F2，F3123456LTVVVVVV123112233ddd,,dddLLLLLLFFFtxxtxxtxx11112121222213235262233332433mxkxkxxFmxkxxkxxkxkxFmxkxxkxF3、拉格朗日函数拉格朗日方程1411112121222213235262233332433mxkxkxxFmxkxxkxxkxkxFmxkxxkxF11122112222356322333343300000000mxkkkxFmxkkkkkkxFmxkkkxF[][]mxkxF其中，[m]，[k]分别为质量矩阵，刚度矩阵。[k]和[F]为位移向量和力向量。如果考虑阻尼，则还会存在阻尼矩阵[c]，则动力学方程为：[][][]mxcxkxF谢谢15