高中三角函数常考知识点及练习题

三角函数常考知识点及练习题1.任意角的三角函数：（1）弧长公式：RalR为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。（2）扇形的面积公式：lRS21R为圆弧的半径，l为弧长。（3）三角函数（6个）表示：a为任意角，角a的终边上任意点P的坐标为),(yx，它与原点的距离为r（r＞0）那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：ryasin，rxacos，xyatan，yxacot，xrasec，yracsc.（4）同角三角函数关系式：①倒数关系：1cottanaa②商数关系：aaacossintan，aaasincoscot③平方关系：1cossin22aa（5）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k·/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性x函数xsinxcosxtanxcotaasinacosatanacota2asinacosatanacota2acosasinacotatan2.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：sinsincoscos)cos(aasincoscossin)sin(aaatantan1tantan)(tanaaaa注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：aaacossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaaaaa2tan1tan22tan从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：22cos1cos2aa，22cos1sin2aa（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos12sinaa，2cos12cosaa，aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan3.三角函数的图像和性质：（其中zk）三角函数xysinxycosxytan定义域（-∞，+∞）（-∞，+∞）2kx值域[-1,1][-1,1]（-∞，+∞）最小正周期2T2TT奇偶性奇偶奇单调性]22,22[kk单调递增]232,22[kk单调递减]2,)12[(kk单调递增])12(,2[(kk单调递减)2,2(kk单调递增对称性2kx)0,(kkx)0,2(k)0,2(k零值点kx2kxkx最值点2kx1maxy2kx1minykx2，1maxy；)12(kx，1miny无4.函数)sin(xAy的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(xAy图像及性质）（1）函数)sin(xAy和)cos(xAy的周期都是2T（2）函数)tan(xAy和)cot(xAy的周期都是T（3）五点法作)sin(xAy的简图，设xt，取0、2、、23、2来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:函数的平移变换：①)0)(()(aaxfyxfy将)(xfy图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）②)0()()(bbxfyxfy将)(xfy图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）函数的伸缩变换：①)0)(()(wwxfyxfy将)(xfy图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1w缩短，10w伸长）②)0)(()(AxAfyxfy将)(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（1A伸长，10A缩短）函数的对称变换：①)()(xfyxfy)将)(xfy图像绕y轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x轴对称）②)()(xfyxfy将)(xfy图像绕x轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y轴对称）③)()(xfyxfy将)(xfy图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④)()(xfyxfy保留)(xfy在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）5.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：)sin(cossin22baba其中2222sin,cosbabbaa（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”。（4）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：acos1常用升幂化为有理式。（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。（6）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。（7）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（8）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（9）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：aacossin，aacossinaacossin，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。6.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①bxaysin（或)cosbxa型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②xbxaycossin型：引进辅助角化成)sin(22xbay再利用有界性③cxbxaysinsin2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sinx的约束④dxcbxaysinsin型：反解出xsin，化归为1sinx解决⑥cxxbxxaycossin)cos(sin型：常用到换元法：xxtcossin，但须注意t的取值范围：2t。（3）三角形中常用的关系：)sin(sinCBA，)cos(cosCBA，2cos2sinCBA，)(2sin2sinCBA，)(2cos2cosCBA练习题：1.（08全国一6）2(sincos)1yxx是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos3yx的图象，只需将函数sinyx的图像（）A．向左平移π6个长度单位B．向右平移π6个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin0且tan0是，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4.（08全国二10）．函数xxxfcossin)(的最大值为（）A．1B．2C．3D．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是（）A．6xB．12xC．6xD．12x6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移2个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为2的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos22sinfxxx的最小值和最大值分别为（）A.－3，1B.－2，2C.－3，32D.－2，329.（08湖北卷7）将函数sin()yx的图象F向右平移3个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线,1x则的一个可能取值是（）A.512B.512C.1112D.111210.（08江西卷6）函数sin()sin2sin2xfxxx是（）A．以4为周期的偶函数B．以2为周期的奇函数C．以2为周期的偶函数D．以4为周期的奇函数11.若动直线xa与函数()sinfxx和()cosgxx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（）A．1B．2C．3D．212.（08山东卷10）已知π4cossin365，则7πsin6的值是（）A．235B．235C．45D．4513.（08陕西卷1）sin330等于（）A．32B．12C．12D．3214.（08四川卷4）2tancotcosxxx()Ａ.tanxＢ.sinxＣ.cosxＤ.cotx15.（08天津卷6）把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．sin23yxxR，B．sin26xyxR，C．sin23yxxR，D．sin23yxxR，16.（08天津卷9）设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）A．abcB．acbC．bcaD．bac17.（08浙江卷2）函数2(sincos)1yxx的最小正周期是（）A.2B.C.32D.218.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（）A.0B.1C.2D.419.（08北京卷9）若角的终边经过点(12)P，，则tan2的值为．20.（08江苏卷1）cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则=．21.（08辽宁卷16）设02x，，则函数22sin1sin2xyx的最小值为．22.（08浙江卷12）若3sin()25，则cos2_________。23.（08上海卷6）函数f(x)＝3sinx+sin(2+x)的最大值是24.（08四川卷17）求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值。25.（08北京卷15）已知函数2π()sin3sinsin2fxxxx（0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间2π03，上的取值范围．26.（08天津卷17）已知函数22s(incoss1)2cofxxxx（,0xR）的最小值正周期是2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx的最大值，并且求使()fx取得最大值的x的集合．27.（08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]122上的值域28.（08陕西卷17）已知函数2()2sincos23sin3444xxxfx．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3gxfx，判断函数()gx的奇偶性，并说明理由．练习题参考答案：1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A11.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.C19.3420.1021.322.25723.224.解：2474sincos4cos4cosyxxxx2272