博弈论复习题及答案

1博弈论2、可口可乐与百事可乐（参与者）的价格决策：双方都可以保持价格不变或者提高价格（策略）；博弈的目标和得失情况体现为利润的多少（收益）；利润的大小取决于双方的策略组合（收益函数）；博弈有四种策略组合，其结局是：（1）如果双方都不涨价，各得利润10单位；（2）如果可口可乐不涨价，百事可乐涨价，可口可乐利润100，百事可乐利润-30；（3）如果可口可乐涨价，百事可乐不涨价，可口可乐利润-20，百事可乐利润30；（4）如果双方都涨价，可口可乐利润140，百事可乐利润35；求纳什均衡。博弈的稳定状态有两个：都不涨价或者都涨价（均衡），均衡称为博弈的解。3、猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制饲料供应的按钮。按一下按钮就会有10个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出2个单位的成本。谁去按按纽则谁后到；都去按则同时到。若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃4个单位。各种情况组合扣除成本后的支付矩阵可如下表示（每格第一个数字是大猪的得益，第二个数字是小猪的得益）：小猪按等待大猪按5，14，4等待9，-10，0求纳什均衡。在这个例子中，我们可以发现，大猪选择按，小猪最好选择等待，大猪选择不按，小猪还是最好选择等待。即不管大猪选择按还是不按，小猪的最佳策略都是等待。也就是说，无论如何，小猪都只会选择等待。这样的情况下，大猪最好选择是按，因为不按的话都饿肚子，按的话还可以有4个单位的收益。所以纳什均衡是（大猪按，小猪等待）。4、根据两人博弈的支付矩阵回答问题：abA2,30,0B0,04,2(1)写出两人各自的全部策略，并用等价的博弈树来重新表示这个博弈（6分）(2)找出该博弈的全部纯策略纳什均衡，并判断均衡的结果是否是Pareto有效。(3)求出该博弈的混合策略纳什均衡。（7分）(1)策略甲：ＡＢ乙：ａｂ博弈树（草图如下：(2)PureNE(A,a);(B,b)都是Pareto有效，仅(B,b)是Ｋ－Ｈ有效。(3)MixedNE((2/5,3/5);(2/3,1/3))5、用反应函数法求出下列博弈的所有纯战略纳什均衡。参与人2abcdA2,33,23,40,32参与人1B4,45,20,11,2C3,14,11,410,2D3,14,1-1,210,1解答：纯策略纳什均衡为（B，a）与（A，c）分析过程：设两个参与人的行动分别为12aa和，player1的反应函数221222,,(),BaaBabRaAacCad如果如果如果或者D,如果player2的反应函数112111,,(),DcaAaaBRacaCca如果如果如果,如果交点为（B，a）与（A，c），因此纯策略纳什均衡为（B，a）与（A，c）。6、（entrydeterrence市场威慑）考虑下面一个动态博弈：首先，在一个市场上潜在的进入者选择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。在位者可能有两种类型，温柔型（左图）和残酷型（右图），回答下面问题。.左图：温柔型右图：残酷型(1)找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什均衡（12分）(2)已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入（8分）(1)温柔NE(in,accommodate)和(out,fight)。SPNE为(in,accommodate)残酷NE(out,fight).SPNE同理8、博弈方1和博弈方2就如何分10，000元钱进行讨价还价。假设确定了以下规则：双方同时提出自己要求的数额A和B，0≤A，B≤10，000。如果A+B≤10，000，则两博弈方的要求得到满足，即分别得A和B，但如果A+B10，000，则该笔钱就没收。问该博弈的纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额？为什么？答十、纳什均衡有无数个。最可能的结果是（5000，5000）这个聚点均衡。9、北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬天度假胜地的市场。如果它们合作，各获得500000元的垄断利润，但不受限制的竞争会使每一方的利润降至60000元。如果一方在价格决策方面选择合作而另一方却选择降低价格，则合作的厂商获利将为零，竞争厂商将获利900000元。（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。答：（1）用囚徒困境的博弈表示如下表：北方航空公司进入者在位者进入不进入默许斗争（-10，25）（0，100）（10，20）进入者在位者进入不进入默许斗争（20，30）（-10，0）（0，100）3合作竞争新华航空公司合作500000，5000000，900000竞争900000，060000，60000（2）如果新华航空公司选择竞争，则北方航空公司也会选择竞争（600000）；若新华航空公司选择合作，北方航空公司仍会选择竞争（900000500000）。若北方航空公司选择竞争，新华航空公司也将选择竞争（600000）；若北方航空公司选择合作，新华航空公司仍会选择竞争（9000000）。由于双方总偏好竞争，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略，每一家公司所获利润均为600000元。12、设啤酒市场上有两家厂商，各自选择是生产高价啤酒还是低价啤酒，相应的利润（单位：万元）由下图的得益矩阵给出：（1）有哪些结果是纳什均衡？（2）两厂商合作的结果是什么？答（1）（低价，高价），（高价，低价）（2）（低价，高价）13、A、B两企业利用广告进行竞争。若A、B两企业都做广告，在未来销售中，A企业可以获得20万元利润，B企业可获得8万元利润；若A企业做广告，B企业不做广告，A企业可获得25万元利润，B企业可获得2万元利润；若A企业不做广告，B企业做广告，A企业可获得10万元利润，B企业可获得12万元利润；若A、B两企业都不做广告，A企业可获得30万元利润，B企业可获得6万元利润。（1）画出A、B两企业的支付矩阵。（2）求纳什均衡。3.答：（1）由题目中所提供的信息，可画出A、B两企业的支付矩阵（如下表）。B企业做广告不做广告A企业做广告20，825，2不做广告10，1230，6（2）因为这是一个简单的完全信息静态博弈，对于纯策纳什均衡解可运用划横线法求解。如果A厂商做广告，则B厂商的最优选择是做广告，因为做广告所获得的利润8大于不做广告获得的利润2，故在8下面划一横线。如果A厂商不做广告，则B厂商的最优选择也是做广告，因为做广告获得的利润为12，而不做广告的利润为6，故在12下面划一横线。如果B厂商做广告，则A厂商的最优选择是做广告，因为做广告获得的利润20大于不做广告所获得的利润10，故在20下面划一横线。如果B厂商不做广告，A厂商的最优选择是不做广告，因为不做广告获得的利润30大于做广告所获得的利润25，故在30下面划一横线。在本题中不存在混合策略的纳什均衡解，因此，最终的纯策略纳什均衡就是A、B两厂商都做广告。15、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。乙LR甲U5,00,8D2,64,5由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。可得如下不等式组Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1可得混合策略Nash均衡((9891,),(7374,)16、某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出：(1)该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡?参考答案：由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡，即(低质量,高质量)，(高质量,低质量)。乙企业4高质量低质量甲企业高质量50,50100,800低质量900,600-20,-30该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡Q=a+d-b-c=-970,q=d-b=-120,R=-1380,r=-630，可得13863y,9712x因此该问题的混合纳什均衡为))13875,13863(),9785,9712((。17、甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。试求出该博弈的纳什均衡。如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措施？乙企业开发不开发甲企业开发-10,-10100,0不开发0,1000,0解：用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点(开发,不开发)和(不开发,开发)。该博弈还有一个混合的纳什均衡((111,1110),(111,1110))。如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位,则收益矩阵变为：0,0a100,00,100a10,10,要使(不开发,开发)成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需a10。此时乙企业的收益为100+a。18、博弈的收益矩阵如下表：乙左右甲上a，bc，d下e，fg，h（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？（尽量把所有必要的关系式都写出来）（2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？（3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？（4）在什么情况下，纯战略纳什均衡不存在？答：（1）ea，gc，db，hf。本题另外一个思考角度是从占优策略均衡的定义出发。对乙而言，占优策略为),(),(hdfb；而对甲而言，占优策略为),(),(geca。综合起来可得到所需结论。（2）纳什均衡只需满足：甲选上的策略时，db，同时乙选左的策略时，ea。故本题中纳什均衡的条件为：db，ea。（3）占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。（4）当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。19、Smith和John玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3，如果数字相同，John给Smith3美元，如果不同，Smith给John1美元。（1）列出收益矩阵。（2）如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？答：（1）此博弈的收益矩阵如下表。该博弈是零和博弈，无纳什均衡。John123Smith13，-3-1，1-1，12-1，13，-3-1，13-1，1-1，13，-3（2）Smith选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，5John选1的效用为：31131131)3(311UJohn选2的效用为：31131)3(311312UJohn选3的效用为：31)3(311311313U类似地，John选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，Smith选1的效用为：31)1(31)1(31331'1USmith选2的效用为：31)1(31331)1(31'2USmith选3的效用为：31331)1(31)1(31'3U因为321UUU，'3'2'1UUU，所以：)31,31,31(),31,31,31(是纳什均衡，策略值分别为John：31U；Smith：31'U。20、假设双头垄断企业的成本函数分别为：1120QC，2222QC，市场需求曲线为QP2400，其中，21QQQ。（1）求出古诺（Cournot）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反应和等利润曲线，并图示均衡点。（2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。（3）说明导致上述两种均衡结果差异的原因。答：（1）对于垄断企业1来说：这是垄断企业1的反应函数。其等利润曲线为：21211122380QQQQ对垄断企业2来说：这是垄断企业2的反应函数。其等利润曲线为：22212242400QQQQ在达到均衡时，有：均衡时的价格为：180)3080(