离散数学-关系的闭包

14.4关系的闭包闭包定义闭包的构造方法集合表示矩阵表示图表示闭包的性质2一、闭包定义定义设R是非空集合A上的关系,R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R,使得R满足以下条件：（1）R是自反的（对称的或传递的）（2）RR（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R有RR.一般将R的自反闭包记作r(R),对称闭包记作s(R),传递闭包记作t(R).3由闭包的定义可知，R的自反（对称，传递）闭包是含有R并且具有自反（对称，传递）性质的“最小”的关系。如果R已是自反的二元关系，显然有：R=r(R)。同样，当R是对称的二元关系时R=s(R)；当R是传递的二元关系时，R=t(R)，且反之亦然。4二、关系的闭包运算（1）已知一个集合中的二元关系R，则r(R),s(R),t(R)是唯一的，它是包含R的最小的自反（对称，传递）关系；（2）若R是自反（对称，传递）的，则r(R),s(R),t(R)就是R本身。（3）若R不是自反（对称，传递）的，则可以补上最少序偶，使之变为自反、对称、传递关系，从而得到r(R),s(R),t(R)；5例：设Ａ={a,b,c},R={a,b,b,c,c,a}，求r(R),s(R),t(R)。解：r(R)={,,,,,,,,,,,}abbccaaabbccs(R)={,,,,,,,,,,,}abbabccbcaact(R)={a,b,b,c,c,a,a,c,b,a,c,b,a,a,b,b,c,c}例：设Ａ={a,b},R={a,aa,b}，则r(R)={a,aa,bb,b},s(R)={a,aa,bb,a},t(R)={a,aa,b}=R6设R是A上的二元关系，x∈A，将所有(x,x)R的有序对加到R上去，使其扩充成自反的二元关系，扩充后的自反关系就是R的自反闭包r(R)。例如，A={a,b,c,d},R={(a,a),(b,d),(c,c)}。R的自反闭包r(R)={(a,a),(b,d),(c,c),(b,b),(d,d)}。于是可得：定理:R是A上的二元关系，则R的自反闭包r(R)=R∪IA。1.构造R的自反闭包的方法。三、闭包的构造方法72.构造R的对称闭包的方法。每当(a,b)∈R，而(b,a)R时，将有序对(b,a)加到R上去，使其扩充成对称的二元关系，扩充后的对称关系就是R的对称闭包s(R)。例如，A={a,b,c,d,e},R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(d,e)}。R的对称闭包s(R)={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)}。定理:R是A上二元关系，是其逆关系，则R的对称闭包s(R)=R∪。R~R~由逆关系的定义可知：83.构造R的传递闭包的方法。设R是A上的二元关系，每当(a,b)∈R和(b,c)∈R而(a,c)R时，将有序对(a,c)加到R上使其扩充成R1，并称R1为R的传递扩张，R1如果是传递关系，则R1是R的传递闭包；如果R1不是传递关系，继续求R1的的传递扩张R2，如果R2是传递关系时，则R2是R的传递闭包；如果R2不是传递关系时，继续求R2的的传递扩张R3…，如果A是有限集，R经过有限次扩张后，定能得到R的传递闭包。扩张后的传递关系就是R的传递闭包t(R)。定理:设R为A上的关系,则有t(R)=R∪R2∪R3∪…说明：•对于有穷集合A(|A|=n)上的关系,上式中的并最多不超过Rn.9思考：设A={a,b,c,d},R={a,b,b,a,b,c,c,d},求r(R),s(R),t(R).解:r(R)=R∪R0={a,a,a,b,b,a,b,b,b,c,c,c,c,d,d,d},s(R)=R∪R1={a,b,b,a,b,c,c,b,c,d,d,c},t(R)=R∪R2∪R3∪R4R2={a,a,a,c,b,b,b,d}R3={a,b,a,d,b,a,b,c}R4={a,b,a,c,b,b,b,d}=R2于是t(R)=R∪R2∪R3={a,a,a,b,a,c,a,d,b,a,b,b,b,c,b,d,c,d}.10闭包的构造方法（续）设关系R,r(R),s(R),t(R)的关系矩阵分别为M,Mr,Ms和Mt,则Mr=M+EMs=M+M’Mt=M+M2+M3+…E是和M同阶的单位矩阵,M’是M的转置矩阵.注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.11闭包的构造方法（续）设关系R,r(R),s(R),t(R)的关系图分别记为G,Gr,Gs,Gt,则Gr,Gs,Gt的顶点集与G的顶点集相等.除了G的边以外,以下述方法添加新边：考察G的每个顶点,如果没有环就加上一个环，最终得到Gr.考察G的每条边,如果有一条xi到xj的单向边,i≠j,则在G中加一条xj到xi的反方向边，最终得到Gs.考察G的每个顶点xi,找从xi出发的每一条路径，如果从xi到路径中任何结点xj没有边，就加上这条边.当检查完所有的顶点后就得到图Gt.12实例例1设A={a,b,c,d},R={a,b,b,a,b,c,c,d,d,b},R和r(R),s(R),t(R)的关系图如下图所示.Rr(R)s(R)t(R)南宁空调回收，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等14定理R是A上关系，则⑴R是自反的，当且仅当r(R)=R.⑵R是对称的，当且仅当s(R)=R.⑶R是传递的，当且仅当t(R)=R.证明略，因为由闭包定义即可得。定理R是A上关系，则⑴R是自反的，则s(R)和t(R)也自反。⑵R是对称的，则r(R)和t(R)也对称。⑶R是传递的，则r(R)也传递。证明:⑴因为R自反,得r(R)=R,即R∪IA=R,r(s(R))=s(R)∪IA=(R∪R-1)∪IA=(R∪IA)∪R-1=r(R)∪R-1=R∪R-1=s(R)∴s(R)自反15类似可以证明t(R)也自反。证明⑵.证明t(R)对称:(t(R))-1=(R∪R2∪...∪Rn∪...)-1=R-1∪(R2)-1∪...∪(Rn)-1∪...=R-1∪(R-1)2∪...∪(R-1)n∪...=R∪R2∪...∪Rn∪...(∵R对称，∴R-1=R)=t(R)所以t(R)也对称。类似可以证明r(R)也对称。证明⑶.证明r(R)传递:先用归纳法证明下面结论:(R∪IA)i=IA∪R∪R2∪...∪Ri①i=1时R∪IA=IA∪R结论成立。②假设i≤k时结论成立，即(R∪IA)k=IA∪R∪R2∪...∪Rk(R2)-1=(RR)-1=R-1R-1=(R-1)216③当i=k+1时(R∪IA)k+1=(R∪IA)k(R∪IA)=(IA∪R∪R2∪...∪Rk）(IA∪R)=(IA∪R∪R2∪...∪Rk)∪(R∪R2∪...∪Rk+1)=IA∪R∪R2∪...∪Rk∪Rk+1所以结论成立.t(r(R))=t(R∪IA)=(R∪IA)∪(R∪IA)2∪(R∪IA)3∪...=(IA∪R)∪(IA∪R∪R2)∪(IA∪R∪R2∪R3)∪...=IA∪R∪R2∪R3∪...=IA∪t(R)=IA∪R(R传递t(R)=R)=r(R)所以r(R)也传递。。。17定理设R1、R2是A上关系，如果R1R2，则⑴r(R1)r(R2)⑵s(R1)s(R2)⑶t(R1)t(R2)证明⑴r(R1)=IA∪R1IA∪R2=r(R2)⑵，⑶类似可证。定理设R是A上关系，则⑴sr(R)=rs(R)⑵tr(R)=rt(R)⑶st(R)ts(R)证明：⑴sr(R)=r(R)∪(r(R)-1=(R∪IA)∪(R∪IA)-1=(R∪IA)∪(R-1∪IA-1)=R∪IA∪R-1∪IA=(R∪R-1)∪IA=s(R)∪IA=rs(R)⑵的证明用前边证明的结论：(R∪IA)k=IA∪R∪R2∪...∪Rk很容易证明，这里从略。18⑶因Rs(R)，得t(R)ts(R)；st(R)sts(R)因s(R)对称，得ts(R)也对称，得sts(R)=ts(R)所以有st(R)ts(R)。证明完毕。通常将t(R)记成R+，tr(R)记成R*，即t(R)=R+=R∪R2∪...∪Rn∪…=tr(R)=rt(R)=R*=R0∪R∪R2∪...∪Rn∪…=∪Rii=1∞∪Rii=0∞