4.导数求函数单调区间问题易错点分析

备课资讯4导数求函数单调区间问题易错点分析利用导数求函数的单调区间问题较复杂，学生在学习时经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的错误分析如下，供大家参考．一、未弄清逻辑关系【例1】“在区间(a，b)内f′(x)0”是“f(x)在该区间内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件错解C剖析一般地，由f′(x)0能推出f(x)为增函数，反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞，＋∞)上单调递增，但是f′(x)≥0.因此f′(x)0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件．正解A二、混淆概念【例2】已知x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m、n∈R，m0.(1)求m与n的关系；(2)求f(x)的单调区间．错解(1)f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋n.因为x＝1是函数f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝0，即3m－6(m＋1)＋n＝0，所以n＝3m＋6.(2)因为f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋n，此函数是二次函数，它的对称轴为x＝m＋1m.又因为m0，所以函数f(x)在x∈－∞，m＋1m上是增函数，在x∈m＋1m，＋∞上是减函数．剖析此题要求的是函数f(x)的单调区间，而错解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函数f′(x)的单调区间取代f(x)的单调区间，它们的单调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的．正解(1)略．(2)f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋n＝3m(x－1)x－1＋2m，当m0时，11＋2m.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如下表：x1＋1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表可知，当m0时，f(x)在－∞，1＋2m上单调递减，在1＋2m，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．)21,(m)1,21(mm2三、未理解题意【例3】设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这三个单调区间．错解f′(x)＝3ax2＋1，若a0时，则f′(x)0，得3ax2＋10.因为此式恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．若a0时，f′(x)0，得3ax2＋10，解得x2－13a，所以x－13a或x－－13a.综上所述，a0时，函数f(x)在R上为增函数；a0时，函数f(x)在－∞，－－13a和－13a，＋∞上为减函数．剖析题意是求恰有三个单调区间时a满足的条件，显然，a0时，函数f(x)在R上为增函数不满足题意；另外，a0时没有研究f′(x)0的情况，更没有讨论a＝0的情况．正解f′(x)＝3ax2＋1，若a≥0时，f′(x)＝3ax2＋10.因为f′(x)0恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．此时f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾．若a0时，f′(x)0，即3ax2＋10，解得x2－13a，所以x－13a或x－－13a；f′(x)0，即3ax2＋10，解得－－13ax－13a.综上所述，a0时，f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间．其中增区间为－3a3a，－－3a3a，减区间为－∞，－3a3a、－－3a3a，＋∞.返回