中山大学固体物理第二章作业

1.对于ZnS、单晶硅、金属钠、二维蜂房晶格、三原子一维复式晶格，分别写出：1)原胞内原子数；2)原胞内自由度数；3)格波支数；4)晶体维数；5)声学波支数；6)光学波支数。原胞内原子数原胞内自由度数格波支数晶体维数声学波支数光学波支数ZnS266333单晶硅266333金属钠133330二维蜂房晶格244222三原子一维复式晶格333112对m维复式晶格，由于m维时有m个互相正交的振动方向，所以原子有m个自由度，若晶格的原胞数为N，每个原胞含P个不等价原子，则晶格振动波矢数为N，格波支数为mP（m支声学波，m（P-1）支光学波），晶格振动模式数为mPN。2.一维原子链,原子间距都是a,原子质量都相同,设为m；但力常数是与'交错,并设',求:1)格波色散关系；2)声学波与光学波的最大,最小频率；3)验证当='时回原到单原子键情形。•解：如图所示，设第2n个原子与第2n+1个原子间力常数为，与第2n-1个原子间的力常数为，两种原子的质量为m，第2n个原子的位移为，则原子运动方程可写为：2n21n22n22n21n2nx22122212122212121nnnnnnnnnnmxxxxxmxxxxx设试探解具有以下形式：2221212itnqanitnqanxAexBe代入运动方程得：223iqaiqaiqaiqamABeeAmBAeeB令上式整理为：,mm22040iqaiqaiqaiqaAeeBeeAB要使A、B有不全为零的解，其系数行列式必须为零，即2205iqaiqaiqaiqaeeee解得：11222222212cos22cos2qaqama2aa2a0q色散关系曲线如图所示当时，2qa可见有两支，令对应括号内取“+”号，称为光学支，对应括号内取“-”，称为声学支。当时，0qmaxmin20m12min12max1212mmmm当时，12222112222cos222cos(1cos)qaqaqammm2cos22sin2qamqamqaa2a为一维单原子链色散关系，与仅相差一个相位因子,2qam2m2max,qaqaa。两者相交。最大频率第一里渊区扩展到出现在实际上从格波解（2）可以看出，将格波解代入方程组（1）有0)()2(2AeeAmiaqiaq)cos1(22aqm解得：为单原子链的色散关系。3.对一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论低温极限。解：设为一维简单格子长度。其中为晶格常数，N为原子数目。则在间隔内的振动模式数目为，频率间隔内的振动模式数目为LNaadq2Ldqd22Ldndq则振动模式密度为2dnLdqgdd德拜模型中，振动模看成是各项同性介质中的弹性波vqLgv大于德拜频率的波不能在晶格中传播D00()DDLgddNvDNvL晶格热容222/2200()exp(/)()()[exp(/)1](1)DDBBxkTBBvBxBkTkTLkTxeCTkgddxkTve/DBxkT其中/DBkT3)1(20222dxeexx，低温下，222()33BBvLkTLkTCTvv4.写出你对周期性边界条件的理解.（提示:什么是周期性边界条件?为什么要引入周期性边界条件?在哪里用过周期性边界条件?应用周期性边界条件后有什么重要结果?周期性边界条件是否总是对的?）答：周期性边界条件：设想在一长为的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第个原子和第个原子的运动情况一样，其中＝1，2，3…。•引入周期性边界条件的原因：（1）我们一直把晶格看作无穷大，即晶格具有平移对称性，但是，平移对称性在实际晶体的边界受到破坏；（2）在具有平移对称性的晶格中，格波具有行波的性质。而周期性边界条件可以保持晶格的平移对称性，得到行波解。NajjtNt•在求解第一布里渊区内晶格振动模式数以及在求解关于q的态密度时用到周期性边界条件。•应用周期性边界条件的结果是导致描写晶格振动状态的波矢q只能取分立的值。•当组成晶格的原子中足够多时，边界效应可以忽略不计，但当原子数少时，大部分的原子不再具有平移对称性，边界效应变得显著，晶体性质发生改变，周期性边界条件不再适用。所以，周期性边界条件只是一种近似，且在边界效应和尺寸效应不重要时是一种很好的近似。5.请就图1所给出的石英（SiO2晶体）在中子辐照前后以及玻璃（非晶SiO2）的热导率随温度的变化关系给予解释。解：材料的热导率可以近似写成13vCvl在极低温，声子数目很少，声子之间的碰撞可以忽略，声子的平均自由程随温度变化不大，因此热导率随温度的行为由热容随温度的变化决定；在一定温度下，非简谐效应开始起作用，声子之间的散射开始变强，此时热导率随温度的行为取决于声子的平均自由程随温度的变化关系。而声子平均自由程的由三种过程决定：声子之间的碰撞、固体中缺陷对声子的散射以及晶体边界对声子的散射。（1）声子之间的碰撞。声子遇到晶体中的另一个声子时，由于非简谐效应而彼此散射，高温时声子—声子碰撞变得特别重要。高温时则相应的平均自由程与温度成反比低温时相应的平均自由程11qBBqkTqkTnTe1lT11qBqBkTqkTnee/BTle（2）声子和晶体中的缺陷碰撞。晶体的不完整性，杂质和缺陷对声子产生散射。杂质密度越大，散射越强，平均自由程越短。（3）声子和晶体的外部边界发生碰撞。在很低温度下，仅有少数声子存在，声子与声子之间的碰撞概率很低，也即声子平均自由程很长，而且低温下所激发的声子是长波长声子，这些声子将主要被大小比波长小得多的物体的边界有效地散射，因此此时声子的平均自由程约为物体的特征尺寸。lL•因此对石英晶体，随着温度的增加，热导率先增加然后下降。中子辐照后，石英晶体中出现缺陷，对声子散射，声子平均自由程减小，热导率降低。•对玻璃态石英，原子排列呈连续无规网络形式，不存在长程有序。此时，平均自由程可看成是常数，其值近似于几个晶格间距，故玻璃的热导率由热容与温度的关系决定。低温下随温度升高而增大，高温为常数。但对透明材料，光子导热，所以在整个温度区间，导热系数随温度增加而增加。（为何会有光子导热？）6.声子的概念是什么？声学支和光学支的物理意义是什么？为什么长声学支为弹性波，长光学波为极化波？答：声子是晶格振动中的简谐振子的能量量子。声学支表示在长波极限下原胞中两种原子的运动是完全一致，振幅和位相都没有差别。光学支表示在长波极限下原胞中的两种原子振动有完全相反的位相，振动中质心不变。•声学波在长波极限下，做展开，可得，表明对于声学波，其频率正比于波数，即长声学波看成连续介质的弹性波。而光学波，在长波极限下，不同离子的相对振动产生一定的电偶极矩，从而可以与电磁波发生相互作用。2aqMm•思考题1.设正格子晶胞的立方棱a=5Å，问面心结构中沿[100]方向行进的波的最小波长是多少?沿[111]方向又如何?•解：波矢限定在第一布里渊区。•[100]方向最大波矢，则最小波长Å•[111]方向最大波矢，则最小波长Å1002qamin10025q1113qamin111223aq•思考题•设一维晶格由ABCABC。。。三种不同原子排列组成，A-B、B-C、C-A间键强均不等，如何选取基元？3.从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近M和m=M时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。•解：一维双原子晶格的色散关系为•色散关系曲线如图qamMmMmM222sin4)()(a2aa2a0q•由上图可以看出，当m逐渐接近M时，在第一布里渊区边界，即处，声学波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当m=M时，则声学波的频率和光学波的频率在处相等，都等于。第一布里渊区扩展到•格波色散关系aq2aq2M2qaa。2cos22sin2qamqamqaa