解析几何(圆锥曲线)全国名校高中数学模拟试题汇编

2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编圆锥曲线1、已知椭圆C过点)0,2(),26,1(FM是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。解：（1）设椭圆C的方程为22221xyab，由已知，得222261412abab，解得2242ab所以椭圆的标准方程为22142xy（2）证明：设1122(,),(,)PxyQxy。由椭圆的标准方程为22142xy，可知2222111112||(2)(2)2222xPFxyxx同理222||2,||222OFxMF………4分∵2||||||MFPFQF，∴12222(2)4()22xx∴122xx…………5分①当12xx时，由221122222424xyxy，得222212122()0xxyy从而有1212121212yyxxxxyy设线段PQ的中点为(1,)Nn，由121212PQyykxxn…………6分得线段PQ的中垂线方程为2(1)ynnx…………7分∴(21)0xny，该直线恒过一定点1(,0)2A…………8分②当12xx时，66(1,),(1,)22PQ或66(1,),(1,)22PQ线段PQ的中垂线是x轴，也过点1(,0)2A，∴线段PQ的中垂线过点1(,0)2A（3）由1(,0)2A，得1(,0)2B。又1222,22xx，∴122[0,2]xx2222221111111179||()()2(1)222244xPBxyxx…∴min3||2PB时，点P的坐标为(0,2)2、如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率e＝32，左右两个焦分别为21FF、．过右焦点2F且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足4PAABm，（mR）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.解：(Ⅰ)∵2MFx轴，∴21||2MF,由椭圆的定义得：11||22MFa（2分）∵2211||(2)4MFc，∴2211(2)424ac，（4分）又32e得2234ca∴22423,aaa0a2a∴2222114baca，∴所求椭圆C的方程为2214xy．(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为(,)xy则(2,)PAxy，(2,1)AB,由PAABm－4得－424xym，∴点P的轨迹方程为2yxm.设点B关于P的轨迹的对称点为00'(,)Bxy，则由轴对称的性质可得：0000111,2222yyxmx，解得：004423,55mmxy，∵点00'(,)Bxy在椭圆上，∴224423()4()455mm，整理得2230mm解得1m或32m∴点P的轨迹方程为21yx或322yx，经检验21yx和322yx都符合题设，∴满足条件的点P的轨迹方程为21yx或322yx．（15分）3、(上海市张堰中学高2009届第一学期期中考试)椭圆C：12222byax0ba的两个焦点为1F、2F，点P在椭圆C上，且211FFPF，且341PF，3142PF.（1）求椭圆C的方程.（2）若直线l过圆02422yxyx的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.解：(1)20221FF525221ccFF又36221aPFPFa149:22yxC椭圆（2）02736361836941491222222kkkkxkyxxky对称关于、MBA9829491822221kkkkxx1298:xyl即02598yx4、在直角坐标平面内，已知点(2,0),(2,0)AB，P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为34.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点1(,0)2作直线l与轨迹C交于EF、两点，线段EF的中点为M,求直线MA的斜率k的取值范围.解:(Ⅰ)设P点的坐标为(,)xy，依题意，有3(2)224yyxxx.化简并整理，得221(2)43xyx.∴动点P的轨迹C的方程是221(2)43xyx.(Ⅱ)解法一：依题意，直线l过点1(,0)2且斜率不为零，故可设其方程为12xmy,………6分由方程组2212143xmyxy消去x，并整理得224(34)12450mymy设),(),,(2211yxFyxE,),(00yxM,则122334myym∴1202322(34)yymym∴00212234xmym,020244ymkxm,(1)当0m时，0k；(2)当0m时,144kmm44|4|4||8||mmmm110484mm.10||8k.1188k且0k.综合(1)、(2)可知直线MA的斜率k的取值范围是：1188k.………………14分解法二：依题意，直线l过点1(,0)2且斜率不为零.(1)当直线l与x轴垂直时，M点的坐标为1(,0)2，此时，0k；…………6分(2)当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l方程为1()2ymx,(3)由方程组221()2143ymxxy消去y，并整理得2222(34)4120mxmxm设),(),,(2211yxFyxE,),(00yxM,则2122434mxxm∴212022234xxmxm00213()22(34)mymxm,0201(0)12444()ymkmxmmm,11||||2||mmmm10||8k.10||8k.1188k且0k.综合(1)、(2)可知直线MA的斜率k的取值范围是：1188k.5、在直角坐标系xOy中，椭圆C1：2222byax=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：24yx的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=35．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）平面上的点N满足21MFMFMN，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若0OAOB，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由2C：24yx知2(10)F，．设11()Mxy，，M在2C上，因为253MF，所以1513x，得123x，1263y．M在1C上，且椭圆1C的半焦距1c，于是2222481931.abba，消去2b并整理得4293740aa，解得2a（13a不合题意，舍去）．故椭圆1C的方程为22143xy．（Ⅱ）由12MFMFMN知四边形12MFNF是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为lMN∥，所以l与OM的斜率相同，故l的斜率263623k．设l的方程为6()yxm．由2234126()xyyxm，，消去y并化简得22916840xmxm．设11()Axy，，22()Bxy，，12169mxx，212849mxx．因为OAOB，所以12120xxyy．121212126()()xxyyxxxmxm2121276()6xxmxxm22841676699mmmm21(1428)09m．所以2m．此时22(16)49(84)0mm，故所求直线l的方程为623yx，或623yx．6、已知双曲线,19322yx，P是其右支上任一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，Q是PF1上的点，N是F2Q上的一点。且有.,022NQNFNFPN求Q点的轨迹方程。122121112223(23,0),(23,0)223.23423833(3,3)102312.(30)12cFFPNFQPFPFFQQFyxFyxQxyx解：由已知得分垂直平分由双曲线的定义得分的轨迹是以为圆心，半径为的一段圆弧。分渐进线为，过作与平行的直线与圆弧在第二象限的交点为分的轨迹方程为分7、已知在平面直角坐标系xoy中，向量32),1,0(的面积为OFPj，且,OFFPt33OMOPj.（1）设的夹角与求向量FPOFt,344的取值范围；（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且||,)13(,||2OPctcOF当取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由34sin||||cos,sin34||||,sin||||2132tFPOFFPOFFPOFFPOF由得，得.34tant],0[3tan1344t∴夹角的取值范围是（3,4）（2）).0,(),,(),,(0000cOFycxFPyxP则设cxccxccyyOFScxctccxcycxFPOFOFP3,)13(340343432||||213)13()()0,(),(0200002000得又由623432)34()3(||222020ccccyxOP∴当且仅当)32,32(,,62||,2,343OPOPccc此时取最小值时即)3,2()1,0()32,32(33OM椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222baa故所求椭圆方程为1121622yx.8、椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=22，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－22,直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且AP＝PB．（1）求椭圆方程；（2）若OA＋OB＝4OP，求m的取值范围．解：（1）设C：y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0），设c＞0，c2＝a2－b2，由条件知a－c＝22，ca＝22，∴a＝1，b＝c＝22，故C的方程为：y2＋x212＝15′（2）由AP→＝λPB→，OA＋OB＝4OP∴λ＋1＝4，λ＝3或O点与P点重合OP→=0→7′当O点与P点重合OP→=0→时，m=0当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）＞0（*）x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋211′∵AP＝3PB→∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝013′m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，因λ＝3∴k≠0∴k2＝2－2m24m2－1＞0，∴－1＜m＜－12或12＜m＜1容易验证k2＞2m2－2成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）∪｛0｝9、已知一动圆M,恒过点F(1,0)，且总与直线:1lx相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ