“截长补短法”在解题中的应用

“截长法”在解题中的应用著名的数学家，莫斯科大学教授雅洁卡提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题”。许多题目我们都解过，怎样转化呢？加油吧！初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。例题讲解1.在△ABC中,∠B＝2∠C,AD平分∠BAC.求证：AB+BD=ACABCDE证明：在AC上截取AE=AB，连结DE∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2,在△ABD和△AED中﹛∠1＝∠2AB=AEAD=AD∴△ABD≌△AED(SAS)∴BD=DE,∠B＝∠3∵∠3=∠4+∠C∵∠B＝2∠C∴∠3=2∠C∴2∠C=∠4+∠C∴DE=CE∴BD=CE又∵AE+EC=AC∴AB+BD=AC1234∴∠C＝∠4截长法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。EDABCDABC经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围DABCEDABC例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEFECABD例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFFEDABC例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且AF=EF，延长BE交AC于F，求证：BE=ACFEDABC•例5：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.•求证：AE平分BAC第1题图ABFDEC•例6：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEEDABC自检自测：•1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.••2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.FEABCD•3、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.DABCMTE1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是()A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19答案：C•1.已知△ABC中，AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形.(1)求证：EF＝2AD.•(2)求证：AD⊥EFEFADBCADBCEFG2.已知:如图,AE是△ABC的中线，D是BC延长线上一点,且CD＝AB,∠BCA＝∠BAC.求证：AD＝2AE.ABCDE