第一节-n维向量的定义、线性运算和线性相关性

第三章n维向量空间•n维向量的定义•n维向量的线性运算•向量组的线性相关性•向量组的极大线性无关组•向量空间•习题课定义1.,,,21个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这称为组所组成的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，第一节维向量的概念),,,(21naaaannaaaa21例如),,3,2,1(n))1(,,32,21(inniin维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量),,,(21nTaaaanaaaa21维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：TTTTba,,,n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,,,ban注意3．行向量和列向量总被看作是两个不同的２．向量和矩阵之间的关系向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.1．向量的分量之间是有先后顺序的。RxxxxxxxRnnnT,,,),,,(2121令Rn表示一切n维实向量组成的集合。若是n维实向量，则可简记,如果没有特别的说明，我们指的都是实向量。nR若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2ana2ajana1a2ajan一些特殊的向量：维列向量个有矩阵mnaAnmij)(维行向量个又有矩阵类似地nmijAanm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tmn维0向量：T），，，（000注：维数不同的零向量是不同的向量n阶单位矩阵的n个列向量分别记为：nI100010,00121neee称为n维基本向量第二节n维向量的线性运算定义1维实向量，是设nbbbaaaTnTn),,,(,),,,(2121分别定义和数乘向量kK是实数域中的一个数，则向量的加法TnTnnkakakakbababa),,,(),,,(212211向量的加法和数乘统称为向量的线性运算注：设n维向量TnTnbbbaaa2121,的对应分量相等，即),,2,1(nibaii称这两个量是相等的，即注：1与要么都是行向量，要么都是列向量。2与的分量个数应相同。元是数乘向量运算的单位即数，使存在为零向量，，设的运算性质质，我们直接给出向量应用已有矩阵的运算性118765040,0,0000321,lklklkkkkRRRklRnnTn例1TT43214321，，，，，，(1)求，的负向量(2)计算34一、线性组合1212112212:{},1,2,,,,,,.,,,nmimmmmARimkkkkkkAkkk给定向量组，，，，对任何一组实数称为向量组的一个线性组合称为该线性组合的系数。定义１:第三节向量组的线性相关性对于给定的向量组A:1,2,…,m和向量b,如果存在一组数k1,k2,…,km使关系式成立，mmkkkb...2211则称向量b是向量组1,2,…,m的线性组合,或称向量b可以由向量组1,2,…,m线性表示.nnnnTneaeaeaaaaaaaaaa2211212121100010001,,,比如说：为n维基本向量neee,,21结论：任何n维向量都是n维基本向量的线性组合设有向量14110322254b2121412032254212b称b是的线性组合.21,或b可以由线性表示.21,例如：nnnnnnnnmxxxxxxAXAAAXRxxxXA221121212121,,,的列向量的线性组合。可以看成是则为实矩阵如：二、向量组的线性相关性定义２对于向量组A:1,2,…,m,0...2211mmkkk成立,则称向量组1,2,…,m线性相关.如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式反之则称向量组1,2,…,m线性无关.成立,即只有当k1=k2=…=km=0时,才有0...2211mmkkk成立,则称向量组1,2,…,m线性无关.如果没有不全为零的k1,k2,…,km,使0...2211mmkkk例1：设有向量14110322254b212b则称向量组}{21b，，线性相关例2：100,010,001321eee则由0332211ekekek，得0321kkk}{321eee，，线性无关。注：n维基本向量neee,,21线性无关.组线性相关含有零向量的任一向量应分量成比例。条件是这两个向量的对线性相关的充要两个向量组成的向量组.;关而一个非零向量线性无一个零向量线性相关一些显然的结果向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关?,,,:,21关是线性相关还是线性无如何判定一个向量组一般地mA齐次线性方程组0...0...0...221122221211212111mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa02211mmxxx使得存在一组数设mxxx,,,21讨论x1,x2,…,xm的情况.如果解得x1,x2,…,xm不全为零,则1,2,…,m线性相关;如果推出x1=x2=…=xm=0,则1,2,…,m线性无关.例3讨论的线性相关性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T使得存在一组数设mxxx,,,2102211nnexexex010001000121nxxx00,,2121nTnxxxxxx向量组线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可作为线性相关性的判定）m,,,21定理1三、线性相关与线性组合之间的关系向量组线性相关,但线性无关，则向量可由向量组唯一地线性表示。m,,,21,,,,21m定理2例4：讨论向量组，T1231，，T0,1,12T1,0,53的线性相关性。解：设有实数3,2,1xxx使0332211xxx0020533121321xxxxxxx即系数行列式0101012513故方程组有非零解。如取121321xxx，，有02321，所以321，，线性相关。例5：设向量组线性无关，321，，133322211，，试证向量组321，，也线性无关。证明：设0332211xxx0133322211）（）（）（xxx即0)()(332221131xxxxxx）（因为321，，线性无关000322131xxxxxx系数行列式为2，故方程组只有零解，故得证例6设有向量组为取何值时，该向量组线性相关。11312110353tt