平摆线和渐开线

§4平摆线和渐开线汉滨高级中学1、摆线的定义思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？OABMOAMAOAr线段的长等于的长，即。摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。xyODAEBMC2、摆线的参数方程OABM根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。MxAB设开始时定点在原点，圆滚动了角后与轴相切于点，圆心在点。MABxCD从点分别做，轴的垂线，垂足分别是，。(,),MxyM设点的坐标为取为参数，根据点满足的几何条件，有sin,xODOADAOAMCrrcos.yDMACABCBrr所以，摆线的参数方程为：(sin),()(1cos).xryr为参数xyODAEBMC3、摆线的参数方程OABM(sin),()(1cos).xryr为参数摆线的参数方程为：思考：在摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？4、渐开线的定义探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？动点（笔尖）满足什么几何条件？ABMO设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。ECD5渐开线的参数方程:设圆的半径为r，则动点M的初始位置的坐标为（r,0),则动点M的坐标为（x,y),是以OA为始边、OB为终边的正角令为参数，此时AB的弧长为r.做ME⊥Ox,BC⊥Ox，垂足分别为E,C;作MD⊥BC，垂足为D，则∠MBD=∠AOB=，由此可得：x=OE=OC+CE=OC+DM=OBcosAOB+BMsinMBD=OBcos+BMsin=rcos+rsin,y=EM=CD=CB-DB=OBsinAOB-BMcossincosrsinrcos.MBDOBBMO(cossin)()(sincos)xryr所以，M点的参数方程为是参数。这就是圆的渐开线的参数方程。6、渐开线的参数方程ABMOxy(cossin)()(sincos)xryr是参数。渐开线的应用：由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。小结：1、圆的渐开线，渐开线的参数方程2、平摆线、摆线的参数方程