1.1-三维欧式空间中的标架

微分几何储亚伟©Copyright第一章预备知识§1.1三维欧式空间中的标架储亚伟(一）、相关概念1.向量的定义及表示2.特殊向量1）单位向量；零向量；反向量.2）相等向量.一、向量代数复习3）自由向量；径向向量.P3.向量的分量：取定坐标系下，点123{,,}OPxxx储亚伟(一）、相关概念4.Einstein求和约定：凡上下标以相同字母为指标的项，均表示求和项.如一、向量代数复习31:(1,2,3);iiiiiaxexei(,1,2,3);iijjSaxij(,,,1,2,3).ijijgdudugduduij性质：哑指标字母可换.储亚伟(二）、向量的运算1.线性运算：加法：三角形（多边形）法则.三角不等式.数乘.2.向量运算：一、向量代数复习:||||cos(,);ababab1）两个向量：点（数量）积：几何意义；基本性质.:||||sin(,);abababe叉（向量）积：几何意义；基本性质.0.abab0//. abab储亚伟(二）、向量的运算2.向量运算：一、向量代数复习():(,,)(,,)(,,);abcabcbcaacb1）两个向量：点积、叉积.混合积：几何意义.()()();abcacbbca二重向量积：2）多个向量：1234()()aaaaLagrange恒等式：1314132414232324()()()().aaaaaaaaaaaaaaaa(,,)0,,abcabc共面.坐标算法特例储亚伟(一）、标架1.仿射标架：二、标架与正交标架流形笛卡尔直角坐标系.坐标..;,,OOAOBOC2.标架的定向：3维：右手系、左手系；高维：行列式的正负.3.正交标架：右手、单位、正交标架;,,.Oijk4.正交标架下向量运算公式，两点间距离公式.5.三种空间：三维向量空间、欧式向量空间、欧式空间3E与3.R储亚伟(二）、正交标架流形1.正交矩阵：二、标架与正交标架流形TAAE满足或TAAE的实方阵.1）定义：,AB若为正交阵，则2）性质：A●可逆，1,TAA也为正交阵；*A●;TTAAAAE●的各行（或列）为两两正交的单位向量；A●,;AXAYXY,●1;A●1,,,,mTTABAABABABA也为正交阵.3）记号：(3)|;(3)|,1.TTOAAAESOAAAEA储亚伟(二）、正交标架流形二、标架与正交标架流形2.标架流形：.取定;,,.OijkQOPki1ej2e3e(1.6)123111121322122233313233,,,.OPaiajakeaiajakeaiajakeaiajak（1.6）和三个基向量的分量唯一确定：123;,,Peee则任一标架P被点坐标其中123(,,)aaaa其中可以随意取定，而(,1,2,3)ijaij应满足31,ikjkijkaa（1.7）过渡阵()(3)ijAaO(3).ASO右手系储亚伟(二）、正交标架流形二、标架与正交标架流形2.标架流形：.(1.6){正交标架}3(3)ESO；123;,,Peee(,).aA1）正交标架：{幺正标架}3(3).EO2）幺正标架：{仿射标架}3(3).EGL3）仿射标架：6维流形储亚伟(三）、正交坐标变换二、标架与正交标架流形.(1.6)空间任一点;,,Oijk123;,,PeeeQ在两个正交标架和中的坐标111213121222323132333,,.xaxayazayaxayazazaxayaza（1.10）(,,)xyz和(,,)xyz，则分别为即123(,,)(,,)(,,).TTTTxyzaaaAxyzQOPki1ej2e3e储亚伟(一）、合同（保长、等距、欧式）变换三、合同变换与刚体运动.(1.6)定理1.11.定义：如果是一一对应，且对任意有33:EET3,,abE(,)((),()),dabdabTT则称是的合同（等距、保长或欧氏）变换．T3E2.表示（判定）使得1233(),(,,).XXTPXxxxET证明：参见彭家贵、陈卿《微分几何》PP.10-12.设是的合同变换存在T3E(3)TO3,PE以及储亚伟(一）、合同（保距、等距、欧式）变换三、合同变换与刚体运动.(1.6)3.分解：平移、旋转、镜面反射或它们的复合．刚体运动的分解：平移、旋转或它们的复合．(二）、刚体运动4.合同变换群：欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫等距（合同、欧式）变换群．当合同变换矩阵的行列式为1时，称该变换为中的一个刚体运动；3E当合同变换矩阵的行列式为-1时，称该变换为中的一个反向刚体运动；3E中的全体幺正标架与的欧式变换群一一对应.3E3E储亚伟微分几何慕课邀请码