向量的坐标表示及其运算教案

8.1向量的坐标表示及其运算教学目标知识目标：了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式能力目标：会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题；会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标：感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.教学重、难点重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难点：向量坐标形式的运算及其应用一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.（1）若在某时刻1t，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？EFGHHGFE图2图18m10mDCBADCBA10m8m[说明]此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻2t，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？[说明]不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二、新课讲授1、向量的正交分解（1）基本单位向量：我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,ij。（2）位置向量：如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.思考1：对于任一位置向量OA，我们能用基本单位向量,ij来表示它吗？如上图右，设如果点A的坐标为,xy，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OAOMON），OM与ON能用基本单位向量,ij来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OMxiONyj），于是可得：OAOMONxiyj（3）向量的正交分解：由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,ij的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2、向量的坐标表示思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，我们都能将它正交分解为基本单位向量,ij的线性组合吗？如下图左.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,ij的线性组合，所以平面内任意的一个向量a都可以正交分解为基本单位向量,ij的线性组合.即：a=OA=xiyj为了简便，通常我们将系数x,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量a的位置向量OA是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y）表示向量a，并称（x,y）为向量a的坐标，记作：a=（x,y）[说明]（x,y）不仅是向量a的坐标，而且也是与a相等的位置向量OA的终点A的坐标！当将向量a的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量a的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)ij.3、例题举隅例1.（课本例题）如图，写出向量,,abc的坐标.解：由图知1,2a，与向量b相等的位置向量为OA，可知1,2bOA，与向量c相等的位置向量为OB，可知1,2cOB[说明]对于位置向量a，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,bc，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：4、向量的坐标表示运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设是一个实数，1122(,),(,).axybxy由于1111(,),axyxiyj2222(,)bxyxiyj所以1122(,)(,)abxyxy1122xiyjxiyj121212121212,xixiyjyjxxiyyjxxyy11111111(,),axyxiyjxiyjxy于是有：（1）向量的和（差）：1122(,)(,)xyxy1212,xxyy（2）数与向量的积：1111(,),xyxy[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.5、例题举隅例2、如下图左，设11,Pxy、22,Qxy是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量PQ？解：如上图右，向量PQOQOP22112121,,,xyxyxxyy从而有2121,PQxxyy[说明]①平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3、如图，平面上A、B、C三点的坐标分别为2,1、3,21,3.（1）写出向量,ACBC的坐标；（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.解：（1）12,313,2AC13,322,1BC（2）在上图中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以DCABDC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO设点D的坐标为,DDxy，于是有1,3DDxyAB又32,215,1AB，故1,35,1DDxy由此可得1531DDxy解得42DDxy因此点D的坐标为4,2.例4、已知向量4,1a与5,2b，求23ab的坐标.解：因为28,2a，315,6b所以23815,2623,4ab例5、已知平面内两点P、Q的坐标分别为（-2,4）、（2,1），求PQ的单位向量0a解：因为22,144,3PQ，故5PQ，所以01434,3,555PQaPQ7、向量的平行（1）向量平行的概念：对任意两个向量,ab，若存在一个常数，使得ab成立，则两向量a与向量b平行，记为：//ab.思考1：在坐标平面上描出下列三点(0,1),(1,3),(3,7)ABC,完成下列问题：①请把下列向量的坐标与模填在表格内：ABBCAC向量坐标(1,2)(2,4)(3,6)向量的模52535②通过画图，你得出什么结论？三点A、B、C在一条直线上③分析表格中向量的模，你发现了什么？ABBCAC④分析表格中向量，你还发现了什么？2BCAB，3ACAB，⑤分析表格中向量坐标，你又发现了什么？向量坐标之间存在比例关系.思考3：如果向量,ab用坐标表示为),(),,(2211yxbyxa，则2121yyxx是ba//的（）条件.A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要（2）判断三点共线的方法方法一：计算三个向量的模长关系.方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.（向量的坐标存在比例关系）例5、若,ab是两个非零向量，且1122(,),(,)axybxy，则//ab的充要条件是1221xyxy.证明：分两步证明，（Ⅰ）先证必要性：//ab1221xyxy非零向量//ab存在非零实数，使得ab，即1122(,)(,)xyxy，化简整理可得：1212xxyy，消去即得1221xyxy（Ⅱ）再证充分性：1221xyxy//ab（1）若12210xyxy,则1x、2x、1y、2y全不为零，显然有11220xyxy，即1122(,)(,)xyxyab//ab（2）若12210xyxy，则1x、2x、1y、2y中至少有两个为零.①如果10x，则由a是非零向量得出一定有10y，20x，又由b是非零向量得出20y，从而，此时存在120yy使12(0,)(0,)yy，即ab//ab②如果10x，则有20y，同理可证//ab综上，当1221xyxy时，总有//ab所以，命题得证.①两向量平行的充要条件：若,ab是两个非零向量，且1122(,),(,)axybxy，则//ab的充要条件是1221xyxy.8、例题举隅例6、已知P是直线12PP上的一点，且12PPPP（为任意实数，且1），1P、2P的坐标分别为11,xy、22,xy，求点P的坐标,xy解：由12PPPP，可知1212xxxxyyyy由于1，所以解得121211xxxyyy②向量12PP的定比分点坐标公式：121211xxxyyy特别地，当1时，P为1P、2P的中点，中点的坐标公式为121222xxxyyy例7、已知平面上A、B、C三点的坐标分别为11(,)xy、22(,)xy、33(,)xy，G是△ABC的重心，求点G的坐标解：设D为A、B的中点，那么1212,22xxyyD，因为G是△ABC的重心，所以2CGGD，由定比分点公式可得12312322122212xxxxyyyy故123123,33xxxyyyG③三角形重心的坐标公式：A、B、C三点的坐标分别为11(,)xy、22(,)xy、33(,)xy，G是△ABC的重心，那么123123,33xxxyyyG三、课堂小结1、向量的正交分解：（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解2、向量的坐标表示3、向量的坐标表示运算4、两向量平行的充要条件5、两点定比分点公式及中点公式6、三角形重心的坐标公式四、作业布置同步练习8.1AB、周末卷