Ch21带状线

第21章带状线Stripline六十年代以来，在微波工程和微波技术上，出现了一次不小的革命，即所谓MIC(MicrowaveIntegratedCircuit)微波集成电路。其特色是体积小、功能多、频带宽，但承受功率小。因此被广泛用于接收机和小功率元件中，并都传输TEM波。作为这一革命的“过渡人物”是带状线(Stripline)。它可以看作是同轴线的变形。同轴线扁带同轴线带状线一、带状线的特性阻抗带线传输TEM波，特性阻抗是研究的主要问题，其求解框图如下:特性阻抗ZLC0ZLCC0ZvCvL01其中v是传输线中的光速，一般有是所填充的介质，于是一般的特性阻抗问题可转化为求电容C的问题。,rcvsmc/100.38r0C'fC'fCpCpWC'fC'f图21-2带线电容带线电容分成板间电容Cp和边缘电容Cf′。W／b愈大，C愈大，特性阻抗Z0愈小。W／b愈大，Cf′影响愈小。带线研究的主要内容如下框图一、带状线的特性阻抗带线研究的主要问题一、带状线的特性阻抗特性阻抗衰减功率容量尺寸设计二、保角变换和Schwarz变换A1.变换(Transform)和不变性变换已经为大家所熟悉。但是，对于不变性可能不被人们重视。事实上，变换中的不变性是非常重要的科学思想，20世纪的数学王子Hilbert(希尔伯特)其早期的主要业绩之一是对不变量的研究。坐标旋转时，任一矢量的长度不变，更一般的表述：内积不变，相对论中Lorentz变换进一步推广成x2＋y2＋z2－c2t2=constant四维空间的长度不变，也是光速不变的体现。PABxyOqx'y'图21-3坐标旋转坐标旋转时，任一矢量的长度不变，更一般的表述：内积不变，相对论中Lorentz变换进一步推广成APAB二、保角变换和Schwarz变换x2＋y2＋z2－c2t2=constant四维空间的长度不变，也是光速不变的体现2.保角变换概念保角变换是复变(解析)函数变换w=f(z)=u＋jvZ-planeW-plane二、保角变换和Schwarz变换它的物理概念表示由某一图形从z平面变到w平面，其中w=f(z)是解析函数。在电磁保角变换中，w称为复位w=u＋jv其中，若u表示等位线，则v表示力线；反之，u表示力线，则v表示等位线。［性质1］解析函数w=u+jv满足222222222200uuxuyvvxvy(21-1)二、保角变换和Schwarz变换［证明］解析函数满足Cauchy-Rieman条件uxvyuxvyxuyvxuyvxyu2222220［性质2］W=u+jv是解析函数，则等位线u(x,y)=c1和力线v(x,y)=c2在z平面必须相互正交。［证明］正交条件是tgtg121(21-2)二、保角变换和Schwarz变换由图21-5可见：uu=c1c1xvOv=c2c221y图21-5Z-planeW-plane二、保角变换和Schwarz变换1221212()2tgctg21-2即为（）式现在dydxc11tg而根据u(x,y)=c1，有uxxxuyyxdydxuxvyuc011tg二、保角变换和Schwarz变换同理可得dydxvxuyuc22tg于是tgtg121uxvxuyvy上述两个性质说明解析函数可以表征电磁复位，变换时u,v正交即保角。二、保角变换和Schwarz变换[性质3］保角变换把z平面上一个由力线和等位线构成的一个区域变换到w平面的一个力线和等位线构成的对应区域，两者之间电容相等。OOyvv2v'2v1v'1g1g'1g2g'2xu图21-6二、保角变换和Schwarz变换［证明］因为电容定义CqqVV2121(21-3)而变换时等位线和力线一一对应，即qqqqVVVV'',''21212121于是Cz=Cw所以，保角变换的实质是希望利用变换中电容的不变性，把难于计算的复杂区域电容变成便于计算的简单区域电容。二、保角变换和Schwarz变换从上面论述可以总结出保角变换计算电容的条件·保角变换必须是二维问题符合Laplace方程(TEM波传输线)·必须在等位问题(注意到导体是等位的)和一定的力线区域内计算·通过某种变换，有可能变成简单区域3.Schwarz多角形变换这是在实际工程中应用最为广泛的一种变换。二、保角变换和Schwarz变换dwdzAzazazaAzaaanaiainni()()()()112111112(21-4)上面所及即标准的Schwarz-Chrictoffel变换。OOyvxa1a1b1a2a2b2a3a3b3uZ-planeW-plane二、保角变换和Schwarz变换三、零厚度带线的特性阻抗Z0问题的提法：根据，把求特性阻抗的问题转化为求电容的问题，而且考虑到对称性，只需要求解ZvC01，见图，再按两倍电容计算。12C0v+1v0v图21-8由z平面变换到t平面z—t平面保角变换jb2jb2jb2jb2jb21k1k2222对应点复平面ABCDEFA＇z00t－∞－101∞a2三、零厚度带线的特性阻抗Z0其中k＜1。yw/2tixAAABBCCDDEEFF+1v+1v-111/k-/k1oo0v0v0v0vtr图21-9z-t平面的保角变换根据Schwarz多角形变换，有zAtttkdtBt12222012111()(21-5)三、零厚度带线的特性阻抗Z02.t平面向w平面变换t-w平面保角变换1k1k2222对应点复平面ABCDEFA＇t－∞－101∞wjK＇K+jK＇－K0KK+jK＇jK＇a三、零厚度带线的特性阻抗Z0又根据Schwarz变换wAdttktBl22222011()()(21-6)其中K是第一类完全椭圆积分。定义是KkFkdttkt(),()()21122201(21-7)对于(21-6)式，根据D点的边界条件B2=0三、零厚度带线的特性阻抗Z0又根据E点的边界条件KkAdttkt()()()22220111则可知A2＝１。再根据F点的边界条件yvAA'BBCCDEEFF+1v+1voo0v0vxuA'A三、零厚度带线的特性阻抗Z0Kkdttktk'()()()1122201我们设，称k′为k的余模数。11222222ktktkk'','且11011111222222222≤≤对应≤≤tktdtktktdttktkktk'''''''()三、零厚度带线的特性阻抗Z0于是Kkktktdtkktktdtkttdttkt'()''''(')'''(')'(')('')2222222012012220111111可见，K(k)也是第一类完全椭圆积分，只是模数换成k的余模数k。3.电容C计算根据保角变换关于电容C的不变性，可以直接由w平面算出三、零厚度带线的特性阻抗Z0CsdKkKkw2()'(')(21-8)复原到带线全平面C=2CW最后特性阻抗ZvCKkKkKkKk0144()'()'()()ZKkKkr030'(')()(21-9)三、零厚度带线的特性阻抗Z0kWbth(/)2(21-10)在微波工程实际上，有一个精度很高的近似式KkKkkkkk()'()ln''ln''121112111(21-11)采用上述公式可避免计算椭圆积分，近似度高于8/10000。三、零厚度带线的特性阻抗Z0附录APPENDIXkthWb2的证明从z-t变换可知zAtdtttkBAdttktkB12221011242221011112111()见数学手册P263dxaxbxcaaxbaaxbxcC22122ln可以知道zAtkttktkkB1221121111111222222221ln()lnz-t变换的对应点关系附录tzWzBW0221,BW12tzzAkkW10211112012,lnlnAWkk1221111lnln2211ln211ln22,112221AjWkAkAzbjzktbAbjAjz1122123附录在这个变换中，共有三个待定常数A1，B1和k，正好上面有三个独立的对应点条件。求出A1，B1和k。根据2，3条件WkkbAln111于是得到ln11kkWb附录也即kWbth2如果考虑中间步骤有1111222222kkekeeeeeeWbWbWbWbWbWbWbWbWbshch附录PROBLEMS21若理想三端环行器的特性是1→3→2→1试写出其S散射矩阵。一已知魔T特性如图二001100111100110021][S求：(1)3端口输入时的输出情况。(2)4端口输入时的输出情况。