导数在研究函数中的应用

淮安市淮海中学王开林问题1：函数单调性的定义是什么?1.一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于这个个区间内任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时,(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2、由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1x2；(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形；(3)判断差的符号，从而得函数的单调性。问题2:如何判断或证明其在定义域内的单调性?问题情境上述证明中实质上体现了下述问题：0(0)yx即f（x）单调增（减）问题:导数大于0（或小于0）与函数单调增（减）是否有密切的关系呢?x1-x2＜0f(x1)－f(x2)＜0x1-x2＜0f(x1)－f(x2)00)()(2121xxxfxff(x)单调增0)()(2121xxxfxff(x)单调减下面我们通过函数y=x2－4x＋3的图象来考察一下：观察函数y=x2－4x＋3的图象：2yx0.......K0K=0K0思考:从图像中你发现了什么?1.函数的导数与函数的单调性的关系：x∈切线的斜率(正或负)f′(x)(0或0)f(x)=x2-4x+3(增或减)(2，+∞)(－∞,2)增函数减函数正负＞0＜0oxyabcd推广到一般情况结论：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f′(x)0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f′(x)0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f′(x)0思考:下列命题正确吗?(用I表示某个区间)(2)在区间I内f′(x)≥0函数y=f(x)在I内单调增(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f′(x)≥0不能不能例题分析例1(1)确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.(2)确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解:f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.21fx=2x3-6x2+7xOy解题小结：如何用导数判断单调性、求单调区间？用导数法确定函数的单调性时的步骤是：注：单调区间不以“并集”出现。（2）求出函数f(x)的导函数（3）在定义域内求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（4）在定义域内求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间（1）确定函数f(x)的定义域思考:如何用导数证明函数在某个区间上的单调性呢?例2试确定函数f（x）=+sinx，x[0,2]的单调减区间.2x例3求证函数f(x)=x+（0，1）为单调减函数.x1-22-11fx=x+1xxOy感受与理解1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a133,333、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()(A)单调递增函数(B)单调递减函数(C)部分单调增，部分单调减(D)单调性不能确定AAB4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间上是增函数（）A（π/2，3π/2）B（2π，3π）C（3π/2，5π/2）D（π，2π）5．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(3)y=ex-x+1D课堂小结(1)这节课你懂了什么知识?(2)用你所学知识能解决哪些类型的问题?(3)解题中有失误吗,什么地方值得你注意？课后尝试：已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t）若函数f（x）=a·b在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。课后作业作业：p741.3.（2）例1(1)函数f(x)=x2－4x+3,x∈(-2,4)确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解:由题意设x1,x2为区间(0,1)上任意两点,且x1x2由x1,x2∈(0,1)知x1+x20,x12●x220又x1x2知x1-x20则f′(X1)-f′(X2)0即f′(X1)f′(X2)所以函数在(0,1)单调递减211)(xxf2221212122212221222121))((1111)()(xxxxxxxxxxxxxfxfxxxf1)(